Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Ví dụ 10. Cho hai biểu thức:,$A=\frac{\sqrt x-3}{\sqrt x+2}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x-2}-\frac{6+\sqrt x}{x-4}$ và $B=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x+3}$ (với $x\geq0,~x
e4).$,a) Tính giá trị của biểu thức B tại $x=9$,b) Rút gọn biểu thức A.,$\alpha$ Cho biểu thức $P=A;B.$ So sánh giá trị của P với 2.,Giải

Question

Accepted Answer

Ví dụ 10.
a) Thay $x=9$ vào biểu thức $B$, ta được:
$$ B = \frac{\sqrt{9} + 1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{3 + 1}{3 + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$

b) Rút gọn biểu thức $A$:
Điều kiện xác định: $x \geq 0$ và $x \neq 4$.

Phân tích mẫu số chung của các phân thức trong biểu thức $A$:
$$ A = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{6 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} $$

Tìm mẫu số chung là $(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)$:
$$ A = \frac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2) - (6 + \sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} $$

Rút gọn tử số:
$$ (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2) = x - 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 6 = x - 5\sqrt{x} + 6 $$
$$ \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2) = x + 2\sqrt{x} $$
$$ -(6 + \sqrt{x}) = -6 - \sqrt{x} $$

Cộng các thành phần lại:
$$ x - 5\sqrt{x} + 6 + x + 2\sqrt{x} - 6 - \sqrt{x} = 2x - 4\sqrt{x} $$

Do đó:
$$ A = \frac{2x - 4\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} $$

c) Biểu thức $P = A \cdot B$:
$$ P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} \right) = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 3)} $$

So sánh giá trị của $P$ với 2:
$$ P = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 3)} $$

Ta thấy rằng:
$$ 2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) < 2(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 3) $$

Vì:
$$ 2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) = 2x + 2\sqrt{x} $$
$$ 2(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 3) = 2(x + 5\sqrt{x} + 6) = 2x + 10\sqrt{x} + 12 $$

Do đó:
$$ 2x + 2\sqrt{x} < 2x + 10\sqrt{x} + 12 $$

Suy ra:
$$ P < 2 $$

Đáp số:
a) $B = \frac{2}{3}$
b) $A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$
c) $P < 2$