giúp tôi với

Câu 1. Mệnh đề phủ định của mệnh đề "Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán" là "Tất cả các học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán". Lập luận từng bước: - Mệnh đề ban đầu: "Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán". - Phủ định của mệnh đề này có nghĩa là không có bất kỳ học sinh nào trong lớp 10A không thích học môn Toán. - Do đó, tất cả các học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán. Vậy mệnh đề phủ định là: "Tất cả các học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán". Câu 2. Để xác định tập hợp nào có đúng hai tập hợp con, chúng ta cần hiểu rằng mỗi tập hợp đều có ít nhất hai tập hợp con là tập hợp rỗng $\emptyset$ và chính nó. - Tập hợp $\{x; y\}$ có các tập hợp con là $\emptyset$, $\{x\}$, $\{y\}$, $\{x; y\}$. Như vậy, tập hợp này có 4 tập hợp con. - Tập hợp $\{x\}$ có các tập hợp con là $\emptyset$ và $\{x\}$. Như vậy, tập hợp này có 2 tập hợp con. - Tập hợp $\{\emptyset; x\}$ có các tập hợp con là $\emptyset$, $\{\emptyset\}$, $\{x\}$, $\{\emptyset; x\}$. Như vậy, tập hợp này có 4 tập hợp con. - Tập hợp $\{\emptyset; x; y\}$ có các tập hợp con là $\emptyset$, $\{\emptyset\}$, $\{x\}$, $\{y\}$, $\{\emptyset; x\}$, $\{\emptyset; y\}$, $\{x; y\}$, $\{\emptyset; x; y\}$. Như vậy, tập hợp này có 8 tập hợp con. Như vậy, chỉ có tập hợp $\{x\}$ có đúng hai tập hợp con là $\emptyset$ và $\{x\}$. Đáp án đúng là: B. $\{x\}$. Câu 3. Để tìm tập hợp \( A \setminus B \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tập hợp \( A \): \( A = (1; 5] \) Điều này có nghĩa là tập hợp \( A \) bao gồm tất cả các số thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 5. 2. Xác định tập hợp \( B \): \( B = (2; 7] \) Điều này có nghĩa là tập hợp \( B \) bao gồm tất cả các số thực lớn hơn 2 và nhỏ hơn hoặc bằng 7. 3. Tìm tập hợp \( A \setminus B \): Tập hợp \( A \setminus B \) bao gồm các phần tử thuộc \( A \) nhưng không thuộc \( B \). - Các số thực từ 1 đến 2 (không bao gồm 2) thuộc \( A \) nhưng không thuộc \( B \). - Các số thực từ 5 đến 7 (bao gồm 5 nhưng không bao gồm 7) thuộc \( B \) nên không thuộc \( A \setminus B \). Do đó, tập hợp \( A \setminus B \) là: \[ A \setminus B = (1; 2] \] Đáp số: \( A \setminus B = (1; 2] \) Câu 4. Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}{2\sin\alpha + \cos\alpha} \) khi \(\tan\alpha = 2\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số của biểu thức \( A \) cho \(\cos\alpha\): \[ A = \frac{\frac{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{2\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha}} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{3\tan\alpha - 2}{2\tan\alpha + 1} \] Bước 3: Thay giá trị \(\tan\alpha = 2\) vào biểu thức: \[ A = \frac{3 \cdot 2 - 2}{2 \cdot 2 + 1} \] \[ A = \frac{6 - 2}{4 + 1} \] \[ A = \frac{4}{5} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ A = \frac{4}{5} \] Câu 5. Để tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta sử dụng công thức liên quan đến diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp. Trước tiên, ta sẽ tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Heron hoặc trực tiếp từ công thức diện tích dựa trên hai cạnh và góc giữa chúng. Bước 1: Tính diện tích tam giác ABC Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{A}) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} \] \[ S = \frac{9\sqrt{3}}{2} \] Bước 2: Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Công thức tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác là: \[ R = \frac{abc}{4S} \] Trong đó, a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, và S là diện tích tam giác. Ta cần tính độ dài cạnh BC bằng Định lý Cosin: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A}) \] \[ BC^2 = 3^2 + 6^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) \] \[ BC^2 = 9 + 36 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} \] \[ BC^2 = 9 + 36 - 18 \] \[ BC^2 = 27 \] \[ BC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] Bây giờ, ta thay các giá trị vào công thức tính R: \[ R = \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{4S} \] \[ R = \frac{3 \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3}}{4 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}} \] \[ R = \frac{54\sqrt{3}}{18\sqrt{3}} \] \[ R = 3 \] Vậy bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3 cm. Câu 6. Để tìm miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2 + 2(y - 1) > 2x + 4\), ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn và biến đổi bất phương trình: \[ x - 2 + 2(y - 1) > 2x + 4 \] Ta mở ngoặc và rút gọn: \[ x - 2 + 2y - 2 > 2x + 4 \] \[ x + 2y - 4 > 2x + 4 \] 2. Di chuyển các hạng tử về một vế: \[ x + 2y - 4 - 2x - 4 > 0 \] \[ -x + 2y - 8 > 0 \] \[ 2y - x - 8 > 0 \] 3. Kiểm tra các điểm đã cho: - Với điểm \(A(1;1)\): \[ 2(1) - 1 - 8 = 2 - 1 - 8 = -7 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] - Với điểm \(B(1;5)\): \[ 2(5) - 1 - 8 = 10 - 1 - 8 = 1 \quad (\text{thỏa mãn}) \] - Với điểm \(C(4;3)\): \[ 2(3) - 4 - 8 = 6 - 4 - 8 = -6 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] - Với điểm \(D(0;4)\): \[ 2(4) - 0 - 8 = 8 - 0 - 8 = 0 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2 + 2(y - 1) > 2x + 4\) chứa điểm \(B(1;5)\). Đáp án: B. \(B(1;5)\). Câu 7. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{x - 3}{2x - 2} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số của phân thức không bằng không vì nếu mẫu số bằng không thì phân thức sẽ không xác định. Bước 1: Xác định điều kiện để mẫu số không bằng không: \[ 2x - 2 \neq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ 2x - 2 \neq 0 \] \[ 2x \neq 2 \] \[ x \neq 1 \] Vậy, tập xác định của hàm số \( y = \frac{x - 3}{2x - 2} \) là tất cả các số thực ngoại trừ \( x = 1 \). Tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Đáp số: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \) Câu 8. Để tìm hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) có đồ thị là một parabol như trong hình vẽ, ta cần xác định các hệ số \( a \), \( b \), và \( c \). Bước 1: Xác định đỉnh của parabol. Trong hình vẽ, đỉnh của parabol nằm tại điểm \( (1, -3) \). Do đó, ta có: \[ x = 1 \] \[ y = -3 \] Bước 2: Thay tọa độ đỉnh vào phương trình \( y = ax^2 + bx + c \): \[ -3 = a(1)^2 + b(1) + c \] \[ -3 = a + b + c \quad \text{(1)} \] Bước 3: Xác định thêm hai điểm khác trên đồ thị để có thêm hai phương trình nữa. Trong hình vẽ, ta thấy parabol đi qua điểm \( (0, -1) \) và điểm \( (2, -1) \). Thay tọa độ điểm \( (0, -1) \) vào phương trình: \[ -1 = a(0)^2 + b(0) + c \] \[ -1 = c \quad \text{(2)} \] Thay tọa độ điểm \( (2, -1) \) vào phương trình: \[ -1 = a(2)^2 + b(2) + c \] \[ -1 = 4a + 2b + c \quad \text{(3)} \] Bước 4: Giải hệ phương trình. Ta đã có ba phương trình: \[ -3 = a + b + c \quad \text{(1)} \] \[ -1 = c \quad \text{(2)} \] \[ -1 = 4a + 2b + c \quad \text{(3)} \] Thay \( c = -1 \) vào phương trình (1) và (3): \[ -3 = a + b - 1 \] \[ -2 = a + b \quad \text{(4)} \] \[ -1 = 4a + 2b - 1 \] \[ 0 = 4a + 2b \quad \text{(5)} \] Bước 5: Giải phương trình (4) và (5): \[ -2 = a + b \quad \text{(4)} \] \[ 0 = 4a + 2b \quad \text{(5)} \] Chia phương trình (5) cho 2: \[ 0 = 2a + b \quad \text{(6)} \] Lấy phương trình (4) trừ phương trình (6): \[ -2 = a + b \] \[ 0 = 2a + b \] \[ -2 = a + b - (2a + b) \] \[ -2 = -a \] \[ a = 2 \] Thay \( a = 2 \) vào phương trình (6): \[ 0 = 2(2) + b \] \[ 0 = 4 + b \] \[ b = -4 \] Vậy ta có \( a = 2 \), \( b = -4 \), và \( c = -1 \). Do đó, hàm số là: \[ y = 2x^2 - 4x - 1 \] Đáp án đúng là: D. \( y = 2x^2 - 4x - 1 \). Câu 9. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức sau: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó: - $|\overrightarrow{a}|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$. - $|\overrightarrow{b}|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$. - $\theta$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Bước 1: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Giả sử $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2)$ và $\overrightarrow{b} = (b_1, b_2)$, ta có: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \] Bước 2: Xác định góc $\theta$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Có thể sử dụng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} \] Tuy nhiên, nếu biết trực tiếp góc $\theta$, ta có thể sử dụng giá trị của $\cos(\theta)$. Bước 3: Thay các giá trị đã tìm được vào công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta) \] Ví dụ cụ thể: Giả sử $\overrightarrow{a} = (3, 4)$ và $\overrightarrow{b} = (1, 2)$, và góc giữa chúng là $\theta = 60^\circ$. Bước 1: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Bước 2: Xác định giá trị của $\cos(60^\circ)$: \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] Bước 3: Thay các giá trị vào công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \] Câu 10. Ta có: \[ |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \] \[ |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 4^2 = 4^2 - 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 3^2 \] \[ 16 = 16 - 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 9 \] \[ 16 = 25 - 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 25 - 16 \] \[ 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 9 \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{9}{2} \] Biểu thức $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ cũng có thể viết dưới dạng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \alpha \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{9}{2} = 4 \times 3 \times \cos \alpha \] \[ \frac{9}{2} = 12 \cos \alpha \] \[ \cos \alpha = \frac{\frac{9}{2}}{12} \] \[ \cos \alpha = \frac{9}{24} \] \[ \cos \alpha = \frac{3}{8} \] Vậy $\cos \alpha = \frac{3}{8}$. Câu 11. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ và các tính chất của nó để suy ra các thông tin về các hệ số $a$, $b$, và $c$. 1. Xét dấu của \(a\): - Từ đồ thị, ta thấy rằng parabol mở rộng lên trên, tức là nó có dạng uốn cong hướng lên. Điều này cho thấy hệ số \(a\) phải dương (\(a > 0\)). 2. Xét dấu của \(b\): - Ta biết rằng đỉnh của parabol nằm ở điểm \(\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\). - Từ đồ thị, ta thấy đỉnh của parabol nằm ở phía bên trái trục \(Oy\), tức là \(-\frac{b}{2a} < 0\). - Vì \(a > 0\), nên \(-\frac{b}{2a} < 0\) suy ra \(-b < 0\) hay \(b > 0\). 3. Xét dấu của \(c\): - Ta biết rằng \(c\) là giá trị của hàm số khi \(x = 0\), tức là \(f(0) = c\). - Từ đồ thị, ta thấy rằng khi \(x = 0\), giá trị của hàm số là âm, tức là \(f(0) < 0\). Do đó, \(c < 0\). 4. Xét dấu của \(\Delta = b^2 - 4ac\): - Từ đồ thị, ta thấy rằng parabol cắt trục \(Ox\) tại hai điểm khác nhau, tức là phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt. - Điều này cho thấy \(\Delta > 0\). Tóm lại, các khẳng định đúng là: - \(a > 0\) - \(b > 0\) - \(c < 0\) - \(\Delta > 0\) Đáp số: \(a > 0\), \(b > 0\), \(c < 0\), \(\Delta > 0\).