Giúp mình với!

Bài 1: a) $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3})$ Để tính giới hạn này, ta nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(x+1)-(x-3)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{4}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}} \] Khi \( x \to +\infty \), \(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-3} \to +\infty\), do đó: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{4}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}} = 0 \] b) $\lim_{x\rightarrow+\infty}x(\sqrt{x^2+5}-x)$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}x(\sqrt{x^2+5}-x) = \lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(\frac{(\sqrt{x^2+5}-x)(\sqrt{x^2+5}+x)}{\sqrt{x^2+5}+x}\right) = \lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(\frac{x^2+5-x^2}{\sqrt{x^2+5}+x}\right) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{5x}{\sqrt{x^2+5}+x} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{5x}{\sqrt{x^2+5}+x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{5}{\sqrt{1+\frac{5}{x^2}}+1} = \frac{5}{1+1} = \frac{5}{2} \] c) $\lim_{x\rightarrow+\infty}(x-\sqrt{x^2+5x})$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}(x-\sqrt{x^2+5x}) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(x-\sqrt{x^2+5x})(x+\sqrt{x^2+5x})}{x+\sqrt{x^2+5x}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2-(x^2+5x)}{x+\sqrt{x^2+5x}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-5x}{x+\sqrt{x^2+5x}} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-5x}{x+\sqrt{x^2+5x}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-5}{1+\sqrt{1+\frac{5}{x}}} = \frac{-5}{1+1} = -\frac{5}{2} \] d) $\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x+1}-1\right)$ Rút gọn biểu thức: \[ \lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x+1}-1\right) = \lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}\left(\frac{1-(x+1)}{x+1}\right) = \lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}\left(\frac{-x}{x+1}\right) = \lim_{x\rightarrow0^-}\frac{-1}{x+1} = -1 \] e) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}\sqrt{x^2+5}$ Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}\sqrt{x^2+5} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x^2+5}}{x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{1+\frac{5}{x^2}} = \sqrt{1+0} = 1 \] f) $\lim_{x\rightarrow+\infty}x(\sqrt{x^2+2}-x)$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}x(\sqrt{x^2+2}-x) = \lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(\frac{(\sqrt{x^2+2}-x)(\sqrt{x^2+2}+x)}{\sqrt{x^2+2}+x}\right) = \lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(\frac{x^2+2-x^2}{\sqrt{x^2+2}+x}\right) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+2}+x} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+2}+x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+1} = \frac{2}{1+1} = 1 \] h) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+x+1}}{x}$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+x+1}}{x} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+x+1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+x+1})}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+x+1})} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(x+1)-(x^2+x+1)}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+x+1})} \] \[ = \lim_{x\rightarrow0}\frac{-x^2}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+x+1})} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+x+1}} = \frac{0}{1+1} = 0 \] i) $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-7})$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-7}) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-7})(\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7})}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(x+5)-(x-7)}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{12}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7}} \] Khi \( x \to +\infty \), \(\sqrt{x+5} + \sqrt{x-7} \to +\infty\), do đó: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{12}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7}} = 0 \] k) $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x^2-5x}-x)$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x^2-5x}-x) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(\sqrt{x^2-5x}-x)(\sqrt{x^2-5x}+x)}{\sqrt{x^2-5x}+x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(x^2-5x)-x^2}{\sqrt{x^2-5x}+x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-5x}{\sqrt{x^2-5x}+x} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-5x}{\sqrt{x^2-5x}+x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-5}{\sqrt{1-\frac{5}{x}}+1} = \frac{-5}{1+1} = -\frac{5}{2} \] l) $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x}\sqrt{x^2+5}$ Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x}\sqrt{x^2+5} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+5}}{x} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{|x|\sqrt{1+\frac{5}{x^2}}}{x} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x\sqrt{1+\frac{5}{x^2}}}{x} = \lim_{x\rightarrow-\infty}-\sqrt{1+\frac{5}{x^2}} = -1 \] Đáp số: a) 0 b) $\frac{5}{2}$ c) $-\frac{5}{2}$ d) -1 e) 1 f) 1 h) 0 i) 0 k) $-\frac{5}{2}$ l) -1 Câu 1: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow2}(3x^2 + 7x + 11)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay giá trị $x = 2$ vào biểu thức $3x^2 + 7x + 11$. \[ 3(2)^2 + 7(2) + 11 \] Bước 2: Tính toán từng phần của biểu thức. \[ 3(2)^2 = 3 \times 4 = 12 \] \[ 7(2) = 7 \times 2 = 14 \] Bước 3: Cộng tất cả các thành phần lại với nhau. \[ 12 + 14 + 11 = 37 \] Vậy giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow2}(3x^2 + 7x + 11)$ là 37. Đáp án đúng là: A. 37. Câu 2: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow3}|x^2-4|$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính giá trị biểu thức \(x^2 - 4\) khi \(x\) tiến đến 3: \[ x^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \] 2. Áp dụng giá trị tuyệt đối: \[ |x^2 - 4| = |5| = 5 \] 3. Kết luận giá trị của giới hạn: \[ \lim_{x\rightarrow3}|x^2-4| = 5 \] Vậy giá trị của giới hạn là 5. Đáp án đúng là: A. 5 Câu 3: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow0}x^2\sin\frac{1}{2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giới hạn của mỗi thành phần: - Ta biết rằng $\sin\frac{1}{2}$ là một hằng số, do đó $\lim_{x\rightarrow0}\sin\frac{1}{2} = \sin\frac{1}{2}$. - Giới hạn của $x^2$ khi $x$ tiến đến 0 là $\lim_{x\rightarrow0}x^2 = 0$. 2. Áp dụng tính chất giới hạn: - Khi nhân hai giới hạn, ta có: \[ \lim_{x\rightarrow0}x^2\sin\frac{1}{2} = \left(\lim_{x\rightarrow0}x^2\right) \times \left(\lim_{x\rightarrow0}\sin\frac{1}{2}\right) \] - Thay các giới hạn đã tìm được vào: \[ \lim_{x\rightarrow0}x^2\sin\frac{1}{2} = 0 \times \sin\frac{1}{2} \] 3. Tính toán kết quả cuối cùng: - Nhân 0 với bất kỳ hằng số nào cũng bằng 0: \[ 0 \times \sin\frac{1}{2} = 0 \] Vậy giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow0}x^2\sin\frac{1}{2}$ là 0. Đáp án đúng là: D. 0. Câu 4: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-3}{x^3+2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay giá trị $x = -1$ vào tử và mẫu của phân thức để kiểm tra xem có thể thay trực tiếp hay không. Tử: $x^2 - 3 = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$ Mẫu: $x^3 + 2 = (-1)^3 + 2 = -1 + 2 = 1$ Bước 2: Kiểm tra mẫu số có bằng 0 hay không. Nếu mẫu số không bằng 0 thì ta có thể thay trực tiếp giá trị của $x$ vào phân thức. Trong trường hợp này, mẫu số không bằng 0 (mẫu số = 1). Bước 3: Thay trực tiếp giá trị của $x$ vào phân thức để tính giới hạn. $\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^2-3}{x^3+2} = \frac{-2}{1} = -2$ Vậy giá trị của giới hạn là $-2$. Đáp án đúng là D. $-\frac{3}{2}$ (sai, đáp án đúng là -2). Câu 5: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x-x^3}{(2x-1)(x^4-3)}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay \( x = 1 \) vào biểu thức để kiểm tra xem có thể thay trực tiếp hay không: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x-x^3}{(2x-1)(x^4-3)} = \frac{1-1^3}{(2 \cdot 1 - 1)(1^4 - 3)} = \frac{1-1}{(2-1)(1-3)} = \frac{0}{1 \cdot (-2)} = 0 \] Như vậy, ta thấy rằng khi thay \( x = 1 \) vào biểu thức, ta nhận được kết quả là 0. Do đó, giới hạn của biểu thức này khi \( x \) tiến đến 1 là 0. Vậy đáp án đúng là: C. 0. Đáp số: C. 0.