giúp tui với ạ

Ví dụ 3. Để tìm hàm tổng chi phí của việc sản xuất sản phẩm A, ta cần tính nguyên hàm của hàm chi phí biên \( MC \). Bước 1: Xác định hàm chi phí biên: \[ MC = 3x^2 + 2x + 3 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của hàm chi phí biên để tìm hàm tổng chi phí \( C(x) \): \[ C(x) = \int MC \, dx = \int (3x^2 + 2x + 3) \, dx \] Bước 3: Tính từng phần nguyên hàm: \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] \[ \int 3 \, dx = 3x \] Bước 4: Cộng tất cả các kết quả lại và thêm hằng số \( C \): \[ C(x) = x^3 + x^2 + 3x + C \] Vậy hàm tổng chi phí của việc sản xuất sản phẩm A là: \[ C(x) = x^3 + x^2 + 3x + C \] Câu 19. Để tính quãng đường đi được của viên đạn kể từ khi bắn lên cho đến thời điểm \( t \), ta cần tính tích phân của vận tốc theo thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t \). Bước 1: Xác định biểu thức vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = 180 - 9,8t \] Bước 2: Tính quãng đường \( s(t) \) bằng cách tích phân vận tốc \( v(t) \) theo thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t \): \[ s(t) = \int_{0}^{t} v(t) \, dt = \int_{0}^{t} (180 - 9,8t) \, dt \] Bước 3: Thực hiện tích phân: \[ s(t) = \left[ 180t - \frac{9,8t^2}{2} \right]_{0}^{t} \] \[ s(t) = \left( 180t - \frac{9,8t^2}{2} \right) - \left( 180 \cdot 0 - \frac{9,8 \cdot 0^2}{2} \right) \] \[ s(t) = 180t - \frac{9,8t^2}{2} \] Bước 4: Viết kết quả cuối cùng: \[ s(t) = 180t - 4,9t^2 \] Vậy, quãng đường đi được của viên đạn kể từ khi bắn lên cho đến thời điểm \( t \) là: \[ s(t) = 180t - 4,9t^2 \] Câu 20. Trước tiên, ta cần biết rằng vận tốc của vật khi rơi tự do được tính theo công thức: \[ v = v_0 + at \] Trong đó: - \( v_0 \) là vận tốc ban đầu của vật (ở đây là 0 vì vật bắt đầu từ trạng thái đứng yên), - \( a \) là gia tốc rơi tự do (ở đây là \( 10 \, m/s^2 \)), - \( t \) là thời gian vật đã rơi. Do đó, vận tốc của vật sau \( t \) giây là: \[ v = 0 + 10t = 10t \, m/s \] Tiếp theo, ta cần tính quãng đường vật đã đi được trong \( t \) giây. Quãng đường vật rơi được tính theo công thức: \[ s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \] Trong đó: - \( v_0 \) là vận tốc ban đầu của vật (ở đây là 0), - \( a \) là gia tốc rơi tự do (ở đây là \( 10 \, m/s^2 \)), - \( t \) là thời gian vật đã rơi. Do đó, quãng đường vật đã đi được sau \( t \) giây là: \[ s = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2 = 5t^2 \, m \] Tóm lại: - Vận tốc của vật sau \( t \) giây là \( 10t \, m/s \). - Quãng đường vật đã đi được sau \( t \) giây là \( 5t^2 \, m \). Đáp số: - Vận tốc: \( 10t \, m/s \) - Quãng đường: \( 5t^2 \, m \) Câu 21. Để tìm quãng đường ô tô đi được sau mỗi khoảng thời gian, ta cần tính tích phân của tốc độ theo thời gian. Bước 1: Xác định tốc độ của ô tô theo thời gian: \[ v(t) = 19 - 2t \] Bước 2: Tính quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến t: \[ s(t) = \int_{0}^{t} v(t) \, dt = \int_{0}^{t} (19 - 2t) \, dt \] Bước 3: Thực hiện tích phân: \[ s(t) = \left[ 19t - t^2 \right]_{0}^{t} = 19t - t^2 \] Bước 4: Thay các giá trị thời gian vào để tìm quãng đường tương ứng: - Sau 1 giây: \[ s(1) = 19 \cdot 1 - 1^2 = 19 - 1 = 18 \text{ m} \] - Sau 2 giây: \[ s(2) = 19 \cdot 2 - 2^2 = 38 - 4 = 34 \text{ m} \] - Sau 3 giây: \[ s(3) = 19 \cdot 3 - 3^2 = 57 - 9 = 48 \text{ m} \] Vậy, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây lần lượt là 18 m, 34 m và 48 m. Câu 22. a) Độ cao của quả bóng theo thời gian t được tính bằng công thức: \[ h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \] Trong đó: - \( h_0 = 24,5 \) m là độ cao ban đầu. - \( v_0 = 19,6 \) m/s là vận tốc ban đầu. - \( g = 9,8 \) m/s² là gia tốc do trọng lực. Thay các giá trị vào công thức: \[ h(t) = 24,5 + 19,6t - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2 \] \[ h(t) = 24,5 + 19,6t - 4,9t^2 \] b) Để tìm thời điểm quả bóng chạm đất, ta cần giải phương trình \( h(t) = 0 \): \[ 24,5 + 19,6t - 4,9t^2 = 0 \] Chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này: \[ -4,9t^2 + 19,6t + 24,5 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( at^2 + bt + c = 0 \): \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = -4,9 \), \( b = 19,6 \), \( c = 24,5 \). Tính \( \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac \] \[ \Delta = (19,6)^2 - 4(-4,9)(24,5) \] \[ \Delta = 384,16 + 480,2 \] \[ \Delta = 864,36 \] Tính các nghiệm: \[ t = \frac{-19,6 \pm \sqrt{864,36}}{2(-4,9)} \] \[ t = \frac{-19,6 \pm 29,4}{-9,8} \] Ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{-19,6 + 29,4}{-9,8} = \frac{9,8}{-9,8} = -1 \] (loại vì thời gian không thể âm) \[ t_2 = \frac{-19,6 - 29,4}{-9,8} = \frac{-49}{-9,8} = 5 \] Vậy quả bóng chạm đất sau 5 giây kể từ khi ném lên. Đáp số: a) \( h(t) = 24,5 + 19,6t - 4,9t^2 \) b) Sau 5 giây Câu 23. a) Để tìm công thức chỉ chiều cao của cây sau t năm, ta cần tích phân hàm tốc độ tăng trưởng \( h'(t) \). \[ h(t) = \int h'(t) \, dt = \int (1,5t + 5) \, dt \] Tích phân từng thành phần: \[ h(t) = \int 1,5t \, dt + \int 5 \, dt \] \[ h(t) = 1,5 \int t \, dt + 5 \int 1 \, dt \] \[ h(t) = 1,5 \left( \frac{t^2}{2} \right) + 5t + C \] \[ h(t) = 0,75t^2 + 5t + C \] Biết rằng khi t = 0, cây cao 12 cm, ta thay vào để tìm hằng số C: \[ h(0) = 0,75(0)^2 + 5(0) + C = 12 \] \[ C = 12 \] Vậy công thức chỉ chiều cao của cây sau t năm là: \[ h(t) = 0,75t^2 + 5t + 12 \] b) Khi cây được bán sau 6 năm, ta thay t = 6 vào công thức trên để tìm chiều cao của cây: \[ h(6) = 0,75(6)^2 + 5(6) + 12 \] \[ h(6) = 0,75 \times 36 + 30 + 12 \] \[ h(6) = 27 + 30 + 12 \] \[ h(6) = 69 \] Vậy khi được bán, cây cao 69 cm. Câu 24. a) Ta có $B^\prime(t)=20t^3-300t^2+1000t$ $\Rightarrow B(t)=5t^4-100t^3+500t^2+C$ Mặt khác, sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội nên $B(1)=500$ $\Rightarrow C=595$ $\Rightarrow B(t)=5t^4-100t^3+500t^2+595$ b) Sau 3 giờ sẽ có số khách tham dự lễ hội là $B(3)=5\times 3^4-100\times 3^3+500\times 3^2+595=2090$ (người) c) Ta có $B^\prime(t)=20t^3-300t^2+1000t=t(20t^2-300t+1000)=20t(t-5)(t-10)$ $B^\prime(t)>0$ trên khoảng $(0;5)\cup (10;15)$ $B^\prime(t)< 0$ trên khoảng $(5;10)$ $\Rightarrow B(t)$ đồng biến trên khoảng $(0;5)$ và $(10;15)$, nghịch biến trên khoảng $(5;10)$ $\Rightarrow B(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=5$ hoặc $t=15$ Mà $B(5)=5\times 5^4-100\times 5^3+500\times 5^2+595=6345$ $B(15)=5\times 15^4-100\times 15^3+500\times 15^2+595=17395$ $\Rightarrow B(15)>B(5)$ $\Rightarrow B(t)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 17395 tại $t=15$ Vậy số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 17395 người. d) Ta có $B^{\prime\prime}(t)=(20t^3-300t^2+1000t)^\prime=60t^2-600t+1000$ $B^{\prime\prime}(t)=0\Leftrightarrow 60t^2-600t+1000=0$ $\Leftrightarrow t^2-10t+\frac{50}{3}=0$ $\Delta = 100-\frac{200}{3}=\frac{100}{3}$ $t_1=\frac{10-\sqrt{\frac{100}{3}}}{2}=5-\frac{5\sqrt{3}}{3}\approx 2,1$ $t_2=\frac{10+\sqrt{\frac{100}{3}}}{2}=5+\frac{5\sqrt{3}}{3}\approx 7,9$ $B^{\prime\prime}(t)>0$ trên khoảng $(0;2,1)\cup (7,9;15)$ $B^{\prime\prime}(t)< 0$ trên khoảng $(2,1;7,9)$ $\Rightarrow B^\prime(t)$ đồng biến trên khoảng $(0;2,1)$ và $(7,9;15)$, nghịch biến trên khoảng $(2,1;7,9)$ $\Rightarrow B^\prime(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=2,1$ hoặc $t=15$ Mà $B^\prime(2,1)=20\times 2,1^3-300\times 2,1^2+1000\times 2,1=1666,2$ $B^\prime(15)=20\times 15^3-300\times 15^2+1000\times 15=6000$ $\Rightarrow B^\prime(15)>B^\prime(2,1)$ $\Rightarrow B^\prime(t)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 6000 tại $t=15$ Vậy tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 6000 khách/giờ, đạt được vào thời điểm $t=15$.