Tính đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của hàm số V(t) = 1/100 * (30t ^ 3 - (t ^ 4)/4) (m²) (0≤1590). Đầy đủ chi tiết

Để tính đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của hàm số \( V(t) = \frac{1}{100} \left( 30t^3 - \frac{t^4}{4} \right) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1 của \( V(t) \) Hàm số đã cho là: \[ V(t) = \frac{1}{100} \left( 30t^3 - \frac{t^4}{4} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hằng số nhân với hàm số: \[ V'(t) = \frac{1}{100} \left( \frac{d}{dt}(30t^3) - \frac{d}{dt}\left(\frac{t^4}{4}\right) \right) \] Tính đạo hàm từng thành phần: \[ \frac{d}{dt}(30t^3) = 30 \cdot 3t^2 = 90t^2 \] \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{t^4}{4}\right) = \frac{1}{4} \cdot 4t^3 = t^3 \] Do đó: \[ V'(t) = \frac{1}{100} \left( 90t^2 - t^3 \right) \] \[ V'(t) = \frac{90t^2 - t^3}{100} \] \[ V'(t) = \frac{t^2(90 - t)}{100} \] Bước 2: Tính đạo hàm cấp 2 của \( V(t) \) Bây giờ, chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( V'(t) \): \[ V'(t) = \frac{t^2(90 - t)}{100} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương và tổng: \[ V''(t) = \frac{1}{100} \left( \frac{d}{dt}(t^2(90 - t)) \right) \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích: \[ \frac{d}{dt}(t^2(90 - t)) = t^2 \cdot \frac{d}{dt}(90 - t) + (90 - t) \cdot \frac{d}{dt}(t^2) \] \[ = t^2 \cdot (-1) + (90 - t) \cdot 2t \] \[ = -t^2 + 180t - 2t^2 \] \[ = -3t^2 + 180t \] Do đó: \[ V''(t) = \frac{1}{100} \left( -3t^2 + 180t \right) \] \[ V''(t) = \frac{-3t^2 + 180t}{100} \] \[ V''(t) = \frac{t(-3t + 180)}{100} \] Kết luận Đạo hàm cấp 1 của hàm số \( V(t) \) là: \[ V'(t) = \frac{t^2(90 - t)}{100} \] Đạo hàm cấp 2 của hàm số \( V(t) \) là: \[ V''(t) = \frac{t(-3t + 180)}{100} \]