. Tìm m để f(x) = (m ^ 2 + 4m - 5) * x ^ 2 - 2(m - 1) * x + 2 <= 0 nghiệm đúng với mọi x.

Để hàm số \( f(x) = (m^2 + 4m - 5)x^2 - 2(m - 1)x + 2 \leq 0 \) nghiệm đúng với mọi \( x \), ta cần kiểm tra các điều kiện sau: 1. Điều kiện đầu tiên: Hệ số của \( x^2 \) phải nhỏ hơn hoặc bằng 0, tức là: \[ m^2 + 4m - 5 \leq 0 \] Ta giải bất phương trình này: \[ m^2 + 4m - 5 = 0 \] Tìm nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \] Vậy: \[ m = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = -5 \] Do đó, tập nghiệm của bất phương trình \( m^2 + 4m - 5 \leq 0 \) là: \[ -5 \leq m \leq 1 \] 2. Điều kiện thứ hai: Biểu thức \( f(x) \) phải là một hàm số lồi (concave down) và đỉnh của nó phải nằm dưới hoặc trên trục hoành. Điều này yêu cầu: \[ \Delta \leq 0 \] Trong đó, \( \Delta \) là biệt thức của phương trình bậc hai: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Với \( a = m^2 + 4m - 5 \), \( b = -2(m - 1) \), và \( c = 2 \): \[ \Delta = [-2(m - 1)]^2 - 4(m^2 + 4m - 5) \cdot 2 \] \[ \Delta = 4(m - 1)^2 - 8(m^2 + 4m - 5) \] \[ \Delta = 4(m^2 - 2m + 1) - 8(m^2 + 4m - 5) \] \[ \Delta = 4m^2 - 8m + 4 - 8m^2 - 32m + 40 \] \[ \Delta = -4m^2 - 40m + 44 \] Để \( \Delta \leq 0 \): \[ -4m^2 - 40m + 44 \leq 0 \] Chia cả hai vế cho -4 (nhớ đổi dấu bất đẳng thức): \[ m^2 + 10m - 11 \geq 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 + 10m - 11 = 0 \] \[ m = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 44}}{2} = \frac{-10 \pm 12}{2} \] Vậy: \[ m = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = -11 \] Do đó, tập nghiệm của bất phương trình \( m^2 + 10m - 11 \geq 0 \) là: \[ m \leq -11 \quad \text{hoặc} \quad m \geq 1 \] 3. Kết hợp các điều kiện: - Từ điều kiện đầu tiên: \( -5 \leq m \leq 1 \) - Từ điều kiện thứ hai: \( m \leq -11 \) hoặc \( m \geq 1 \) Kết hợp hai điều kiện này, ta nhận thấy rằng chỉ có giá trị \( m = 1 \) thỏa mãn cả hai điều kiện. Vậy, giá trị của \( m \) để \( f(x) \leq 0 \) nghiệm đúng với mọi \( x \) là: \[ m = 1 \]