cho tam giác ABC,điểm E thuộc tia phân giác của góc B.Qua E vẽ đường thẳng song song với BC và AB cắt BC tại M và AB tại N. a) chứng minh tứ giác NEMB là hình thoi b) Trên AB lấy điểm K sao cho N là tr...

a) Theo đề bài ta có $\displaystyle EN\ \parallel \ MB\ nên\ \widehat{NEB} =\widehat{MBE}$ (
Tương tự: $\displaystyle EM\ \parallel \ AB\ nên\ \widehat{NBE} =\widehat{BEM}$ (1)
Xét $\displaystyle \vartriangle BEN\ \ và\ \vartriangle EBM$ :
$\displaystyle \widehat{NEB} =\widehat{MBE}$
BE chung
$\displaystyle \widehat{NBE} =\widehat{BEM}$
⟹ $\displaystyle \vartriangle BEN\ \ =\ \vartriangle EBM\ $(góc-cạnh-góc)
⟹$\displaystyle BN=EM\ ( 2)$
Theo đề bài ta lại có: $\displaystyle \widehat{NBE} =\widehat{EBM}$ (3)
Từ (1) và (3) suy ra: $\displaystyle \widehat{BEM} =\widehat{EBM}$ ⟹ $\displaystyle \vartriangle EBM$ là tam giác cân tại M nên $\displaystyle BM=ME$ (4)
Chứng minh tương tự ta có $\displaystyle \vartriangle EBN$ là tam giác cân tại N nên $\displaystyle BN=NE$ (5)
Từ (2), (4) và (5) suy ra $\displaystyle BN=NE=EM=MB$
⟹ Tứ giác BMEN là hình thoi

b) Do $\displaystyle EM=\ BN$ (câu b) mà $\displaystyle NK\ =NB$ nên $\displaystyle KN=\ EM$ (6)
Ta lại có $\displaystyle AB\parallel \ EM$ mà $\displaystyle K\in \ AB\ nên\ KN\parallel EM$ (7)
Từ (6) và (7) suy ra tứ giác KNME là hình bình hành.

c) Tứ giác FBEK có 2 đường chéo là FE và KB cắt nhau tại N
Ta lại có $\displaystyle NB=KN$ và $\displaystyle FN=NE$ nên tứ giác FBEK là hình bình hành (vì 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Ta vẽ $\displaystyle NM\cap BE=I$ mà NBME là hình thoi nên $\displaystyle BE\bot NM$  tại I (*)
nên $\displaystyle \widehat{BIN} =90^{0}$
Từ câu b ta có KNME là hình bình hành nên $\displaystyle NM\parallel KE$ (**)
Từ (*) và (**) nên $\displaystyle BE\bot KE$ ⟹ $\displaystyle \widehat{BEK} =90^{0}$
Vậy hình bình hành FBEK có 1 góc vuông nên FBEK là hình chữ nhật