Ccccccccccccccccccccc Bài 1: Cho $\Delta ABC,$ Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm,D, E sao cho $\widehat{ACD}=\widehat{ABE}$ và CD cách BE tại O,,CM :,u, $AD.AB=AE.AC$,$b,~OC.OD=OB.OE$,Bài 2: Cho hình thang ABCD $(AB//CD)$ Có $\widehat{DAB}=$,$\widehat{DBC}.$ Tính độ dài cạnh BD bt $AB=4$ cm, DC =,9 cm.,Câu 3: Cho $\Delta ABC\bot A$ , Đng cao AH. Tia phân giác,$cuả~\widehat B$ cắt $AH,AC$ lần lượt tại D; E.,a, Chứng minh $\Delta BAD\backsim\Delta BCE$ và $\Delta BHD\backsim\Delta BAE$,b, Chứng minh $\frac{DH}{DA}=\frac{EA}{EC}$,c, Biết $AB=3~cm,~BC=5~cm.$ Tính độ dài HB; HC

Question

Accepted Answer

{"userId":5298755,"userName":"Yi Won"}

Bài 1:

a) Ta có $\angle ACD = \angle ABE$.

Xét $ riangle ACD$ và $ riangle ABE$ có:

$\angle A$ chung

$\angle ACD = \angle ABE$ (gt)

Suy ra $ riangle ACD \sim riangle ABE$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AE}$

$\Rightarrow AD.AB = AE.AC$ (đpcm)

b) Ta có $AD.AB = AE.AC$ (cmt)

$\Rightarrow \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$

Xét $ riangle ADE$ và $ riangle ACB$ có:

$\angle A$ chung

$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$ (cmt)

Suy ra $ riangle ADE \sim riangle ACB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \angle ADE = \angle ACB$

Ta có $\angle ODC = \angle ACD - \angle ACO$

$\angle OBE = \angle ABE - \angle ABO$

Mà $\angle ACD = \angle ABE$ (gt), $\angle ACO = \angle ABO$ (do $ riangle ADE \sim riangle ACB$)

Suy ra $\angle ODC = \angle OBE$

Xét $ riangle ODC$ và $ riangle OBE$ có:

$\angle DOC = \angle BOE$ (đối đỉnh)

$\angle ODC = \angle OBE$ (cmt)

Suy ra $ riangle ODC \sim riangle OBE$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{OD}{OE} = \frac{OC}{OB}$

$\Rightarrow OC.OD = OB.OE$ (đpcm)

Bài 3:

a) Chứng minh $ riangle ABD \sim riangle BCE$ và $ riangle BHD \sim riangle BAE$

*Chứng minh $ riangle ABD \sim riangle BCE$:

Ta có $BD$ là phân giác $\angle ABC$ $\Rightarrow \angle ABD = \angle CBE$

Xét $ riangle ABD$ và $ riangle BCE$ có:

$\angle ABD = \angle CBE$ (cmt)

$\angle BAD = \angle BCE = 90^{\circ}$ (do $AH$ là đường cao)

Suy ra $ riangle ABD \sim riangle BCE$ (g.g)

*Chứng minh $ riangle BHD \sim riangle BAE$:

Ta có $ riangle ABD \sim riangle BCE$ (cmt)

$\Rightarrow \angle BDA = \angle BEC$

Xét $ riangle BHD$ và $ riangle BAE$ có:

$\angle HBD = \angle ABE$ (cmt)

$\angle BHD = \angle BAE = 90^{\circ}$ (do $AH$ là đường cao)

Suy ra $ riangle BHD \sim riangle BAE$ (g.g)

b) Chứng minh $\frac{DH}{DA} = \frac{EA}{EC}$

Ta có $ riangle BHD \sim riangle BAE$ (cmt)

$\Rightarrow \frac{BH}{BA} = \frac{HD}{AE}$

$\Rightarrow HD = \frac{BH.AE}{BA}$ (1)

Ta có $ riangle ABD \sim riangle BCE$ (cmt)

$\Rightarrow \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CE} \Rightarrow AD = \frac{AB.CE}{BC}$ (2)

$\Rightarrow DA = \frac{AB.EC}{BC}$

$\frac{DH}{DA} = \frac{\frac{BH.AE}{BA}}{\frac{AB.EC}{BC}} = \frac{BH.AE.BC}{BA^2.EC}$

Vì BD là phân giác $\angle ABC$, nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:

$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} \Rightarrow \frac{AB}{BC} = \frac{DA}{EC}$

Ta có $\frac{DH}{DA} = \frac{EA}{EC}$ (đpcm)

c) Tính độ dài $HB; HC$

Áp dụng định lý Pythagoras cho $ riangle ABC$ vuông tại A:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$5^2 = 3^2 + AC^2$

$AC^2 = 25 - 9 = 16$

$AC = 4 (cm)$

Gọi $HB = x$

$\Rightarrow HC = BC - HB = 5 - x$

Áp dụng hệ thức lượng trong $ riangle ABC$ vuông tại A, đường cao AH:

$AB^2 = BH.BC$

$3^2 = x.5$

$x = \frac{9}{5} = 1.8$

Vậy $HB = 1.8 cm$

$HC = BC - HB = 5 - 1.8 = 3.2 cm$

Vậy $HC = 3.2 cm$