giiup với ạ

5.25. Cho dãy số $(u_n)$ có tính chất $|u_n - 1| < \frac{2}{n}$. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này? Ta có: \[ |u_n - 1| < \frac{2}{n} \] Khi $n \to \infty$, ta có $\frac{2}{n} \to 0$. Do đó, $|u_n - 1| \to 0$. Điều này chứng tỏ $u_n \to 1$. Vậy giới hạn của dãy số $(u_n)$ là 1. 5.26. Tìm giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát cho bởi công thức sau: a) $u_n = \frac{n^2}{3n^2 + 7n - 2}$ \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3n^2 + 7n - 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{n^2}} = \frac{1}{3} \] b) $v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{3^k + 5^k}{6^k}$ \[ v_n = \sum_{k=0}^{n} \left(\left(\frac{3}{6}\right)^k + \left(\frac{5}{6}\right)^k\right) = \sum_{k=0}^{n} \left(\left(\frac{1}{2}\right)^k + \left(\frac{5}{6}\right)^k\right) \] Cả hai dãy $\left(\frac{1}{2}\right)^k$ và $\left(\frac{5}{6}\right)^k$ đều là dãy số giảm dần và có giới hạn là 0 khi $k \to \infty$. Do đó, giới hạn của $v_n$ là: \[ \lim_{n \to \infty} v_n = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\left(\frac{1}{2}\right)^k + \left(\frac{5}{6}\right)^k\right) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = 2 + 6 = 8 \] c) $w_n = \frac{\sin n}{4n}$ \[ \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{4n} = 0 \] 5.27. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số: a) 1,(01) Gọi số thập phân vô hạn tuần hoàn này là $x$: \[ x = 1,010101... \] Nhân cả hai vế với 100: \[ 100x = 101,010101... \] Trừ đi $x$: \[ 100x - x = 101,010101... - 1,010101... \] \[ 99x = 100 \] \[ x = \frac{100}{99} \] b) 5,(132) Gọi số thập phân vô hạn tuần hoàn này là $y$: \[ y = 5,132132... \] Nhân cả hai vế với 1000: \[ 1000y = 5132,132132... \] Trừ đi $y$: \[ 1000y - y = 5132,132132... - 5,132132... \] \[ 999y = 5127 \] \[ y = \frac{5127}{999} = \frac{1709}{333} \] 5.28. Tính các giới hạn sau: a) $\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x+2} - 3}{x-7}$ Nhân tử tự và mẫu với $\sqrt{x+2} + 3$: \[ \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x+2} - 3}{x-7} \cdot \frac{\sqrt{x+2} + 3}{\sqrt{x+2} + 3} = \lim_{x \to 7} \frac{(x+2) - 9}{(x-7)(\sqrt{x+2} + 3)} = \lim_{x \to 7} \frac{x-7}{(x-7)(\sqrt{x+2} + 3)} = \lim_{x \to 7} \frac{1}{\sqrt{x+2} + 3} = \frac{1}{6} \] b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ Phân tích nhân tử: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x+1} = \frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2} \] c) $\lim_{x \to 1} \frac{2-x}{(1-x)^2}$ \[ \lim_{x \to 1} \frac{2-x}{(1-x)^2} = \lim_{x \to 1} \frac{-(x-2)}{(x-1)^2} = \lim_{x \to 1} \frac{-(x-2)}{(x-1)^2} = \infty \] d) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}}$ \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1+\frac{2}{x})}{|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1+\frac{2}{x})}{-x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1+\frac{2}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{2} \] 5.29. Tính các giới hạn một bên: a) $\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{[x-3]}$ \[ \lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{[x-3]} = \lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x+3)}{[x-3]} = \lim_{x \to 3^-} (x+3) = 6 \] b) $\lim_{x \to -} \frac{x}{\sqrt{1-x}}$ \[ \lim_{x \to -} \frac{x}{\sqrt{1-x}} = \lim_{x \to -} \frac{x}{\sqrt{1-x}} = 0 \] 5.30. Chứng minh rằng giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ không tồn tại. Xét giới hạn từ bên trái và bên phải: \[ \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1 \] \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 \] Vì hai giới hạn một bên không bằng nhau, nên giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ không tồn tại. 5.31. Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho. a) $f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{x} & \text{nếu } x \neq 0 \\ 1 & \text{nếu } x = 0 \end{array}\right.$ tại điểm $x = 0$ Hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x = 0$ vì $\lim_{x \to 0} f(x) = \infty$ nhưng $f(0) = 1$. b) $g(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 + x & \text{nếu } x < 1 \\ 2 - x & \text{nếu } x \geq 1 \end{array}\right.$ tại điểm $x = 1$ Hàm số $g(x)$ không liên tục tại $x = 1$ vì $\lim_{x \to 1^-} g(x) = 2$ và $\lim_{x \to 1^+} g(x) = 1$, nhưng $g(1) = 1$. 5.32. Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách $r$ tính từ tâm Trái Đất là \[ F(r) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{GMr}{R^3} & \text{nếu } r < R \\ \frac{GM}{r^2} & \text{nếu } r \geq R \end{array}\right., \] trong đó $M$ và $R$ lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số $F(r)$. Tại $r = R$: \[ \lim_{r \to R^-} F(r) = \lim_{r \to R^-} \frac{GMr}{R^3} = \frac{GM}{R^2} \] \[ \lim_{r \to R^+} F(r) = \lim_{r \to R^+} \frac{GM}{r^2} = \frac{GM}{R^2} \] \[ F(R) = \frac{GM}{R^2} \] Vì $\lim_{r \to R^-} F(r) = \lim_{r \to R^+} F(r) = F(R)$, nên hàm số $F(r)$ liên tục tại $r = R$. 5.33. Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng. a) $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 + 5x + 6}$ Tập xác định: $x^2 + 5x + 6 \neq 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq -2, x \neq -3$ Hàm số liên tục trên các khoảng xác định vì nó là thương của hai hàm liên tục. b) $g(x) = \frac{x-2}{\sin x}$ Tập xác định: $\sin x \neq 0 \Rightarrow x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$ Hàm số liên tục trên các khoảng xác định vì nó là thương của hai hàm liên tục. 5.34. Tìm các giá trị của $a$ để hàm số $f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x+1 & \text{nếu } x \leq a \\ x^2 & \text{nếu } x > a \end{array}\right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Để hàm số liên tục tại $x = a$, ta cần: \[ \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \] \[ a + 1 = a^2 \] \[ a^2 - a - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Vậy các giá trị của $a$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ là $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ và $a = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.