Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm G(6;10;-4) và F(8;5;-6) . Tìm toạ độ điểm K sao cho G và K đối xứng nhau qua F

Question

Accepted Answer

Để tìm tọa độ điểm K sao cho G và K đối xứng nhau qua F, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng GK:
   Vì G và K đối xứng nhau qua F, nên F là trung điểm của đoạn thẳng GK.

2. Áp dụng công thức tính trung điểm:
   Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm $ A(x_1, y_1, z_1) $ và $ B(x_2, y_2, z_2) $ là:
   $$
   M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)
   $$
   Trong trường hợp này, F là trung điểm của GK, tức là:
   $$
   F\left( \frac{x_G + x_K}{2}, \frac{y_G + y_K}{2}, \frac{z_G + z_K}{2} \right)
   $$

3. Thay tọa độ của G và F vào công thức:
   Ta có G(6, 10, -4) và F(8, 5, -6). Thay vào công thức trung điểm:
   $$
   8 = \frac{6 + x_K}{2}
   $$
   $$
   5 = \frac{10 + y_K}{2}
   $$
   $$
   -6 = \frac{-4 + z_K}{2}
   $$

4. Giải các phương trình để tìm tọa độ của K:
   - Từ phương trình đầu tiên:
     $$
     8 = \frac{6 + x_K}{2} \implies 16 = 6 + x_K \implies x_K = 10
     $$
   - Từ phương trình thứ hai:
     $$
     5 = \frac{10 + y_K}{2} \implies 10 = 10 + y_K \implies y_K = 0
     $$
   - Từ phương trình thứ ba:
     $$
     -6 = \frac{-4 + z_K}{2} \implies -12 = -4 + z_K \implies z_K = -8
     $$

5. Kết luận:
   Tọa độ của điểm K là (10, 0, -8).

Vậy tọa độ điểm K là $(10, 0, -8)$.