giải giúp ạ

Câu 1: Để giải phương trình $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị của $x$ sao cho $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$: - Ta biết rằng $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$ khi $\theta = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $\theta = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. 2. Áp dụng vào phương trình: - Gọi $y = x + \frac{\pi}{3}$, ta có: \[ y = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad y = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \] - Thay lại $y = x + \frac{\pi}{3}$, ta có: \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \] 3. Giải ra $x$: - Từ $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi$, ta có: \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k2\pi = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \] - Từ $x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$, ta có: \[ x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + k2\pi = \frac{3\pi}{6} + k2\pi = \frac{\pi}{2} + k2\pi \] 4. Kết luận: - Vậy nghiệm của phương trình $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ là: \[ x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \] với $k$ là số nguyên. Đáp số: $x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Câu 2: Để tìm nghiệm của phương trình $\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của cosin: Ta biết rằng $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 2. Xét phương trình cơ bản: Phương trình $\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ có thể được viết lại dưới dạng: \[ x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 3. Giải phương trình: Ta xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: \[ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \] \[ x = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + k2\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi \] - Trường hợp 2: \[ x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \] \[ x = -\frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} + k2\pi \] 4. Kết luận nghiệm: Vậy nghiệm của phương trình $\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ là: \[ x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{12} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Câu 3: Để tìm nghiệm của phương trình $\tan(2x + \frac{\pi}{3}) = 1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình $\tan(2x + \frac{\pi}{3}) = 1$ có nghĩa là: \[ 2x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Điều này đảm bảo rằng biểu thức trong dấu tang không rơi vào các điểm không xác định của hàm tang. 2. Giải phương trình: Ta biết rằng $\tan(\theta) = 1$ khi $\theta = \frac{\pi}{4} + n\pi$ với $n \in \mathbb{Z}$. Do đó, ta có: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + n\pi \] 3. Tìm nghiệm của phương trình: Giải phương trình trên để tìm $x$: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + n\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + n\pi \] \[ 2x = \frac{3\pi - 4\pi}{12} + n\pi \] \[ 2x = -\frac{\pi}{12} + n\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2} \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: Chúng ta cần kiểm tra điều kiện xác định: \[ 2x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] Thay $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}$ vào: \[ 2\left(-\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ -\frac{\pi}{12} + n\pi + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ -\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + n\pi \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ \frac{3\pi}{12} + n\pi \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ \frac{\pi}{4} + n\pi \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] Điều này luôn đúng vì $\frac{\pi}{4} + n\pi$ không bao giờ bằng $\frac{\pi}{2} + k\pi$ trừ khi $n = k + \frac{1}{4}$, nhưng $n$ và $k$ đều là số nguyên. Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2} \quad \text{với} \quad n \in \mathbb{Z} \] Đáp số: $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}$ với $n \in \mathbb{Z}$. Câu 4: Để tìm nghiệm của phương trình $\cot(3x + 60^\circ) = \sqrt{3}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình $\cot(3x + 60^\circ) = \sqrt{3}$ có nghĩa là: \[ 3x + 60^\circ \neq k \cdot 180^\circ \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] 2. Giải phương trình lượng giác: Ta biết rằng $\cot(\theta) = \sqrt{3}$ khi $\theta = 30^\circ + k \cdot 180^\circ$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó, ta có: \[ 3x + 60^\circ = 30^\circ + k \cdot 180^\circ \] Giải phương trình này để tìm $x$: \[ 3x = 30^\circ - 60^\circ + k \cdot 180^\circ \] \[ 3x = -30^\circ + k \cdot 180^\circ \] \[ x = -10^\circ + k \cdot 60^\circ \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: Chúng ta cần kiểm tra điều kiện $3x + 60^\circ \neq k \cdot 180^\circ$. Thay $x = -10^\circ + k \cdot 60^\circ$ vào: \[ 3(-10^\circ + k \cdot 60^\circ) + 60^\circ = -30^\circ + 180^\circ k + 60^\circ = 30^\circ + 180^\circ k \] Điều này luôn đúng vì $30^\circ + 180^\circ k \neq m \cdot 180^\circ$ với mọi $k, m \in \mathbb{Z}$. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -10^\circ + k \cdot 60^\circ \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Đáp số: $x = -10^\circ + k \cdot 60^\circ$, với $k \in \mathbb{Z}$. Câu 5: a) Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: - Ta tính trung điểm của mỗi khoảng thời gian: - Trung điểm của [0; 20) là $\frac{0 + 20}{2} = 10$. - Trung điểm của [20; 40) là $\frac{20 + 40}{2} = 30$. - Trung điểm của [40; 60) là $\frac{40 + 60}{2} = 50$. - Trung điểm của [60; 80) là $\frac{60 + 80}{2} = 70$. - Trung điểm của (80; 100) là $\frac{80 + 100}{2} = 90$. - Số lượng học sinh trong mỗi nhóm lần lượt là 4, 7, 13, 9, 7. - Tính tổng số phút tập thể dục của tất cả học sinh: \[ 10 \times 4 + 30 \times 7 + 50 \times 13 + 70 \times 9 + 90 \times 7 = 40 + 210 + 650 + 630 + 630 = 2160 \] - Tổng số học sinh là: \[ 4 + 7 + 13 + 9 + 7 = 40 \] - Số trung bình của mẫu số liệu là: \[ \frac{2160}{40} = 54 \text{ phút} \] b) Xác định tử phân vị của mẫu số liệu: - Số học sinh là 40, do đó ta chia mẫu số liệu thành 4 phần bằng nhau, mỗi phần có 10 học sinh. - Tử phân vị thứ nhất (Q1) nằm ở khoảng giữa học sinh thứ 10 và 11, thuộc nhóm [20; 40). - Tử phân vị thứ hai (Q2) nằm ở khoảng giữa học sinh thứ 20 và 21, thuộc nhóm [40; 60). - Tử phân vị thứ ba (Q3) nằm ở khoảng giữa học sinh thứ 30 và 31, thuộc nhóm [60; 80). c) Tìm mốt của mẫu số liệu: - Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. - Nhóm [40; 60) có số học sinh nhiều nhất (13 học sinh), nên mốt của mẫu số liệu là trung điểm của nhóm này, tức là 50 phút. Đáp số: a) Số trung bình của mẫu số liệu là 54 phút. b) Tử phân vị thứ nhất (Q1) nằm trong khoảng [20; 40), tử phân vị thứ hai (Q2) nằm trong khoảng [40; 60), tử phân vị thứ ba (Q3) nằm trong khoảng [60; 80). c) Mốt của mẫu số liệu là 50 phút. Câu 6: a) Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu: Ta tính trung bình cộng của mẫu số liệu bằng cách lấy tổng các giá trị nhân với tần số tương ứng rồi chia cho tổng số lượng mẫu. \[ \text{Trung bình cộng} = \frac{(1 + 3) \times 7 + (3 + 5) \times 13 + (5 + 7) \times 25 + (7 + 9) \times 5}{2 \times 50} \] \[ = \frac{4 \times 7 + 8 \times 13 + 12 \times 25 + 16 \times 5}{100} \] \[ = \frac{28 + 104 + 300 + 80}{100} \] \[ = \frac{512}{100} = 5.12 \] b) Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu: - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị ở vị trí $\frac{n+1}{4}$ trong dãy số đã sắp xếp. Với n = 50, ta có: \[ Q1 = \text{giá trị ở vị trí} \frac{50+1}{4} = 12.75 \approx 13 \] Vị trí này nằm trong khoảng [3;5), do đó Q1 = 3. - Tứ phân vị thứ hai (Q2) là giá trị ở vị trí $\frac{n+1}{2}$ trong dãy số đã sắp xếp. Với n = 50, ta có: \[ Q2 = \text{giá trị ở vị trí} \frac{50+1}{2} = 25.5 \approx 26 \] Vị trí này nằm trong khoảng [5;7), do đó Q2 = 5. - Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị ở vị trí $\frac{3(n+1)}{4}$ trong dãy số đã sắp xếp. Với n = 50, ta có: \[ Q3 = \text{giá trị ở vị trí} \frac{3(50+1)}{4} = 38.25 \approx 39 \] Vị trí này nằm trong khoảng [7;9), do đó Q3 = 7. c) Tìm mốt của mẫu số liệu: Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Từ bảng thống kê, ta thấy khoảng [5;7) có số học sinh nhiều nhất (25 học sinh). Do đó, mốt của mẫu số liệu là khoảng [5;7). Đáp số: a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu là 5.12. b) Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là 3, tứ phân vị thứ hai (Q2) là 5, tứ phân vị thứ ba (Q3) là 7. c) Mốt của mẫu số liệu là khoảng [5;7).