Giải giúp mình

Câu 5: a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABD nên MN // BD. Mặt khác, BD // B'D' nên MN // B'D'. Vậy mệnh đề này đúng. b) Ta có NP là đường trung bình của tam giác AA'B' nên NP // A'B'. Mặt khác, A'B' // (ACC'A') nên NP // (ACC'A'). Vậy mệnh đề này đúng. c) Ta có MP là đường trung bình của tam giác ADD' nên MP // D'D. Mặt khác, D'D // BB' nên MP // BB'. Vì vậy, MP // (BCC'B'). Ta cũng có NP là đường trung bình của tam giác AA'B' nên NP // A'B'. Mặt khác, A'B' // BC nên NP // BC. Vì vậy, NP // (BCC'B'). Do đó, cả hai đường thẳng MP và NP đều song song với mặt phẳng (BCC'B'), và chúng cắt nhau tại điểm P. Vậy mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (BCC'B'). Mệnh đề này đúng. d) Ta thấy rằng A'P nằm trong mặt phẳng (A'B'C'D') và AN nằm trong mặt phẳng (ABCD). Khi ta thực hiện phép chiếu song song từ điểm A'P lên mặt phẳng (ABCD) theo phương CC', ta sẽ có ảnh của A'P là AN. Vậy mệnh đề này đúng. Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng. Câu 6: a) Đúng vì $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^3} = 0$. b) Sai vì $\lim_{x \to 1} \frac{3x - 1}{x + 1} = \frac{3(1) - 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$. c) Sai vì $\lim_{x \to -\infty} \frac{9 - x^2}{x + 3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x^2(1 - \frac{9}{x^2})}{x(1 + \frac{3}{x})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x(1 - \frac{9}{x^2})}{1 + \frac{3}{x}} = -\infty$. d) Sai vì $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3 + 5 = 8$ và $\lim_{x \to 3^+} f(x) = -2(3) + 2 = -4$. Vì $\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$ nên hàm số không liên tục tại $x = 3$. Câu 7: a) $\lim n^3 = +\infty$ Để kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề này, ta xét giới hạn của $n^3$ khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{n \to +\infty} n^3 = +\infty \] Vì $n^3$ tăng không giới hạn khi $n$ tiến đến vô cùng, nên mệnh đề này là đúng. b) $\lim_{x \to +\infty} (-x^6) = -\infty$ Để kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề này, ta xét giới hạn của $-x^6$ khi $x$ tiến đến dương vô cùng: \[ \lim_{x \to +\infty} (-x^6) = -\infty \] Vì $x^6$ tăng không giới hạn khi $x$ tiến đến dương vô cùng, do đó $-x^6$ sẽ giảm không giới hạn, tức là tiến đến âm vô cùng. Nên mệnh đề này là đúng. c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2} = 3$ Để kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề này, ta xét giới hạn của $\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2}$ khi $x$ tiến đến 1: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2} \] Ta thấy rằng khi thay $x = 1$ vào tử số $x^2 - 7x + 10$, ta có: \[ 1^2 - 7 \cdot 1 + 10 = 1 - 7 + 10 = 4 \] Do đó, ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2} = \frac{4}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4 \] Vậy giới hạn của $\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 2}$ khi $x$ tiến đến 1 là $-4$, không phải là 3. Nên mệnh đề này là sai. d) Với $m = 2$ thì hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -x - 3 & \text{khi } x \neq 1 \\ m + 2 & \text{khi } x = 1 \end{array} \right.$ liên tục tại $x = 1$. Để kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề này, ta cần kiểm tra tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại điểm $x = 1$. Hàm số liên tục tại $x = 1$ nếu: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] Ta xét giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ cả hai phía: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (-x - 3) = -(1) - 3 = -4 \] Với $m = 2$, ta có: \[ f(1) = m + 2 = 2 + 2 = 4 \] Vì $\lim_{x \to 1} f(x) = -4$ và $f(1) = 4$, ta thấy rằng $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$. Do đó, hàm số không liên tục tại $x = 1$. Nên mệnh đề này là sai. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 1: Để tìm nghiệm của phương trình $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị của $x$ sao cho $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$: - Ta biết rằng $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$ khi $\theta = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $\theta = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. 2. Áp dụng vào phương trình đã cho: - Gọi $\theta = x + \frac{\pi}{3}$, ta có: \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \] 3. Giải ra $x$: - Từ phương trình đầu tiên: \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \] - Từ phương trình thứ hai: \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{3\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \] 4. Kết luận nghiệm của phương trình: - Nghiệm của phương trình $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ là: \[ x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \] với $k$ là số nguyên. Đáp số: \[ x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \] Câu 2: Để tìm nghiệm của phương trình $\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của cosin: Ta biết rằng $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 2. Xét các trường hợp: - Trường hợp 1: $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + k2\pi = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + k2\pi = \frac{5\pi}{12} + k2\pi \] - Trường hợp 2: $x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + k2\pi = -\frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + k2\pi = \frac{\pi}{12} + k2\pi \] 3. Kết luận nghiệm: Phương trình $\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ có các nghiệm là: \[ x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{12} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Đáp số: \[ x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{12} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Câu 3: Để tìm nghiệm của phương trình $\tan(2x + \frac{\pi}{3}) = 1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình $\tan(2x + \frac{\pi}{3}) = 1$ có nghĩa là: \[ 2x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Điều này đảm bảo rằng biểu thức trong dấu tang không rơi vào các điểm không xác định của hàm tang. 2. Giải phương trình: Ta biết rằng $\tan(\theta) = 1$ khi $\theta = \frac{\pi}{4} + n\pi$ với $n \in \mathbb{Z}$. Do đó, ta có: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + n\pi \] 3. Tìm nghiệm của phương trình: Giải phương trình trên để tìm $x$: \[ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + n\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + n\pi \] \[ 2x = \frac{3\pi - 4\pi}{12} + n\pi \] \[ 2x = -\frac{\pi}{12} + n\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2} \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: Chúng ta cần kiểm tra điều kiện xác định: \[ 2x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] Thay $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}$ vào: \[ 2\left(-\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ -\frac{\pi}{12} + n\pi + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ -\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + n\pi \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ \frac{3\pi}{12} + n\pi \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ \frac{\pi}{4} + n\pi \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] Điều này luôn đúng vì $\frac{\pi}{4} + n\pi$ không bao giờ bằng $\frac{\pi}{2} + k\pi$ trừ khi $n = k + \frac{1}{4}$, nhưng $n$ và $k$ đều là số nguyên. Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2} \quad \text{với} \quad n \in \mathbb{Z} \] Đáp số: $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}$ với $n \in \mathbb{Z}$. Câu 4: Để giải phương trình $\cot(3x + 60^\circ) = \sqrt{3}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình $\cot(3x + 60^\circ) = \sqrt{3}$ có nghĩa là: \[ 3x + 60^\circ \neq k \cdot 180^\circ \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] 2. Giải phương trình lượng giác: Ta biết rằng $\cot(\theta) = \sqrt{3}$ khi $\theta = 30^\circ + k \cdot 180^\circ$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó, ta có: \[ 3x + 60^\circ = 30^\circ + k \cdot 180^\circ \] Giải phương trình này để tìm $x$: \[ 3x = 30^\circ - 60^\circ + k \cdot 180^\circ \] \[ 3x = -30^\circ + k \cdot 180^\circ \] \[ x = -10^\circ + k \cdot 60^\circ \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: Ta cần kiểm tra điều kiện $3x + 60^\circ \neq k \cdot 180^\circ$. Thay $x = -10^\circ + k \cdot 60^\circ$ vào: \[ 3(-10^\circ + k \cdot 60^\circ) + 60^\circ = -30^\circ + 180^\circ k + 60^\circ = 30^\circ + 180^\circ k \] Điều kiện này luôn đúng vì $30^\circ + 180^\circ k \neq m \cdot 180^\circ$ với mọi $k, m \in \mathbb{Z}$. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -10^\circ + k \cdot 60^\circ \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Câu 5: a) Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: - Ta tính trung điểm của mỗi khoảng thời gian: - [0;20): Trung điểm là $\frac{0 + 20}{2} = 10$ - [20;40): Trung điểm là $\frac{20 + 40}{2} = 30$ - [40;60): Trung điểm là $\frac{40 + 60}{2} = 50$ - [60;80): Trung điểm là $\frac{60 + 80}{2} = 70$ - [80;100): Trung điểm là $\frac{80 + 100}{2} = 90$ - Số lượng học sinh trong mỗi nhóm lần lượt là 4, 7, 13, 9, 7. - Tính tổng số học sinh: \[ 4 + 7 + 13 + 9 + 7 = 40 \] - Tính tổng thời gian tập thể dục của tất cả học sinh: \[ 4 \times 10 + 7 \times 30 + 13 \times 50 + 9 \times 70 + 7 \times 90 = 40 + 210 + 650 + 630 + 630 = 2160 \] - Tính số trung bình: \[ \text{Số trung bình} = \frac{2160}{40} = 54 \] b) Xác định tứ phân vị của mẫu số liệu: - Tổng số học sinh là 40, do đó ta chia thành 4 phần bằng nhau, mỗi phần có 10 học sinh. - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) nằm ở khoảng giữa 10 và 11 học sinh đầu tiên, tức là trong khoảng [20;40). - Tứ phân vị thứ hai (Q2) nằm ở khoảng giữa 20 và 21 học sinh, tức là trong khoảng [40;60). - Tứ phân vị thứ ba (Q3) nằm ở khoảng giữa 30 và 31 học sinh, tức là trong khoảng [60;80). c) Tìm mốt của mẫu số liệu: - Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. - Nhóm có số học sinh nhiều nhất là [40;60) với 13 học sinh. - Do đó, mốt của mẫu số liệu là khoảng thời gian [40;60). Đáp số: a) Số trung bình: 54 phút b) Tứ phân vị: Q1 trong khoảng [20;40), Q2 trong khoảng [40;60), Q3 trong khoảng [60;80) c) Mốt: [40;60) Câu 6: a) Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu: - Ta tính trung bình cộng của mỗi khoảng: - Khoảng [1;3): lấy trung điểm là $\frac{1+3}{2} = 2$ - Khoảng [3;5]: lấy trung điểm là $\frac{3+5}{2} = 4$ - Khoảng [5;7]: lấy trung điểm là $\frac{5+7}{2} = 6$ - Khoảng [7;9): lấy trung điểm là $\frac{7+9}{2} = 8$ - Tính tổng số điểm của tất cả học sinh: \[ 2 \times 7 + 4 \times 13 + 6 \times 25 + 8 \times 5 = 14 + 52 + 150 + 40 = 256 \] - Số trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \frac{256}{50} = 5.12 \] b) Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu: - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị ở vị trí $\frac{n}{4} = \frac{50}{4} = 12.5$, tức là ở khoảng [3;5]. - Tứ phân vị thứ hai (Q2) là giá trị ở vị trí $\frac{2n}{4} = \frac{2 \times 50}{4} = 25$, tức là ở khoảng [5;7]. - Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị ở vị trí $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 50}{4} = 37.5$, tức là ở khoảng [5;7]. c) Tìm mốt của mẫu số liệu: - Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Trong bảng, khoảng [5;7] có nhiều học sinh nhất (25 học sinh), nên mốt nằm trong khoảng này. Đáp số: a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu là 5.12. b) Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là khoảng [3;5], Tứ phân vị thứ hai (Q2) là khoảng [5;7], Tứ phân vị thứ ba (Q3) là khoảng [5;7]. c) Mốt của mẫu số liệu là khoảng [5;7].