Một sợi dây kim loại dài 120 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn giây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn (tham khảo hình bên dưới). Tổng diện tích của hình vuông...

Gọi độ dài đoạn dây thứ nhất là x (cm) 
Độ dài đoạn dây thứ hai là 120 - x (cm)
Chu vi hình vuông là x cm
cạnh của hình vuông là : $\displaystyle \frac{x}{4}$ (cm)
Chu vi hình tròn là 120 - x cm
bán kính hình tròn là : 
$\displaystyle R\ \ =\frac{120-x}{2\pi }$
Tổng diện tích 2 hình là : 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
S\ =\ \left(\frac{x}{4}\right)^{2} +\pi \left(\frac{120-x}{2\pi }\right)^{2}\\
=\frac{x^{2}}{16} +\frac{( 120-x)^{2}}{4\pi }\\
S'\ =\ \frac{2x}{16} \ +\ \frac{2.\ ( -1) .( 120-x)}{4\pi }\\
S'\ =\ 0\\
\rightarrow \frac{2x}{16} \ =\ \frac{2( 120-x)}{4\pi }\\
\rightarrow x\ =\frac{4}{\pi }( 120-x)\\
\rightarrow x\ =\ 67,2\ cm
\end{array}$
Vậy để tổng diện tích 2 hình nhỏ nhất là :
$\displaystyle S\ =\ $\displaystyle \left(\frac{67,2}{4}\right)^{2} +\pi \left(\frac{120-67,2}{2\pi }\right)^{2}$
$\displaystyle =504,1\ cm^{2}$