giupppppppp

Câu 3. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) \[ \overrightarrow{A^\prime M} = \overrightarrow{A^\prime A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \] - Ta có $\overrightarrow{A^\prime M} = \overrightarrow{A^\prime A} + \overrightarrow{AM}$ - Mặt khác, $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$ - Do đó, $\overrightarrow{A^\prime M} = \overrightarrow{A^\prime A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$ Mệnh đề này đúng. Mệnh đề b) \[ \overrightarrow{A^\prime B^\prime} - \overrightarrow{C^\prime A^\prime} = 2\overrightarrow{AM} \] - Ta có $\overrightarrow{A^\prime B^\prime} = \overrightarrow{AB}$ vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đều. - Ta cũng có $\overrightarrow{C^\prime A^\prime} = \overrightarrow{CA}$ - Do đó, $\overrightarrow{A^\prime B^\prime} - \overrightarrow{C^\prime A^\prime} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA}$ - Vì ABC là tam giác đều nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CA}$ - Do đó, $\overrightarrow{A^\prime B^\prime} - \overrightarrow{C^\prime A^\prime} = \overrightarrow{0}$ Mệnh đề này sai. Mệnh đề c) \[ \overrightarrow{A^\prime M} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \] - Ta có $\overrightarrow{A^\prime M} = \overrightarrow{A^\prime A} + \overrightarrow{AM}$ - Ta cũng có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$ - Do đó, $\overrightarrow{A^\prime M} = \overrightarrow{A^\prime A} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$ - Ta có $\overrightarrow{A^\prime A} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ vì AA' vuông góc với đáy. - Ta cũng có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^2}{2}$ vì ABC là tam giác đều. - Do đó, $\overrightarrow{A^\prime M} \cdot \overrightarrow{AC} = \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \right) \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} + \frac{1}{2} \cdot a^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{4}$ Mệnh đề này sai. Mệnh đề d) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với M. Khi đó, tọa độ trung điểm N của A' B' là $N\left(\frac{a}{4}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; a\sqrt{2}\right)$ - Ta có tọa độ của A' là $(0; 0; a\sqrt{2})$ - Ta cũng có tọa độ của B' là $(a; 0; a\sqrt{2})$ - Do đó, tọa độ trung điểm N của A' B' là: \[ N\left(\frac{0 + a}{2}; \frac{0 + 0}{2}; \frac{a\sqrt{2} + a\sqrt{2}}{2}\right) = N\left(\frac{a}{2}; 0; a\sqrt{2}\right) \] Mệnh đề này sai. Kết luận - Mệnh đề a) Đúng - Mệnh đề b) Sai - Mệnh đề c) Sai - Mệnh đề d) Sai