Cho tôi đáp án câu 13

Câu 13. a) Ta có: \[ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE} \] Vì \( DE = \frac{3}{4} DC \), nên: \[ \overrightarrow{CE} = \frac{1}{4} \overrightarrow{DC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DC} + \frac{1}{4} \overrightarrow{DC} = \frac{5}{4} \overrightarrow{DC} \] Mặt khác, ta biết \( DC = 4AB \), nên: \[ \overrightarrow{DC} = 4 \overrightarrow{AB} \] Do đó: \[ \overrightarrow{DE} = \frac{5}{4} \times 4 \overrightarrow{AB} = 5 \overrightarrow{AB} \] Vậy: \[ \overrightarrow{DE} = 5 \overrightarrow{AB} \] Đáp án: SAI b) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB} \] Ta cũng có: \[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} \] Vì \( DE = \frac{3}{4} DC \), nên: \[ \overrightarrow{DE} = \frac{3}{4} \overrightarrow{DC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \frac{3}{4} \overrightarrow{DC} \] Vậy: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \neq \overrightarrow{AE} \] Đáp án: SAI c) Ta có: \[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) = 2 \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} \] Vì \( AD = 2a \) và \( DC = 4a \), nên: \[ |\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}| = |2 \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}| = |2(2a) + 4a| = |4a + 4a| = 8a \] Đáp án: SAI d) Ta có: \[ |\overrightarrow{MD} + 4 \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MC}| \] Điều này tương đương với: \[ |\overrightarrow{MD} + 4 \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{CA}| \] Vì \( CA = 2a \sqrt{2} \), nên: \[ |\overrightarrow{MD} + 4 \overrightarrow{MB}| = 2a \sqrt{2} \] Tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện trên là đường tròn tâm O bán kính bằng \( \frac{a \sqrt{5}}{5} \). Đáp án: ĐÚNG Vậy đáp án đúng là: d) Tập hợp các điểm M thỏa mãn \( |\overrightarrow{MD} + 4 \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MC}| \) là đường tròn tâm O bán kính bằng \( \frac{a \sqrt{5}}{5} \). Câu 14. a) Ta có: - Số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ là \(1200 - x - y\) (triệu đồng). - Số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng: \(1200 - x - y \geq 3x \Rightarrow 4x + y \leq 1200\). - Số tiền đầu tư trái phiếu doanh nghiệp không quá 200 triệu đồng: \(y \leq 200\). Do đó, hệ bất đẳng thức thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 4x + y \leq 1200 \\ y \leq 200 \end{array} \right. \] b) Nếu bác An chỉ đầu tư 300 triệu đồng mua trái phiếu ngân hàng, ta có: - Số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng là 300 triệu đồng. - Số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ là \(1200 - 300 - y = 900 - y\) (triệu đồng). Lợi nhuận trong một năm từ trái phiếu ngân hàng: \[ 300 \times 0.08 = 24 \text{ (triệu đồng)} \] Lợi nhuận trong một năm từ trái phiếu doanh nghiệp: \[ y \times 0.12 = 0.12y \text{ (triệu đồng)} \] Lợi nhuận trong một năm từ trái phiếu chính phủ: \[ (900 - y) \times 0.07 = 63 - 0.07y \text{ (triệu đồng)} \] Tổng lợi nhuận trong một năm: \[ 24 + 0.12y + 63 - 0.07y = 87 + 0.05y \] Theo đề bài, tổng lợi nhuận trong một năm là 94 triệu đồng: \[ 87 + 0.05y = 94 \Rightarrow 0.05y = 7 \Rightarrow y = 140 \] Vậy bác An đầu tư 140 triệu đồng vào trái phiếu doanh nghiệp. c) Để tối đa hóa lợi nhuận, ta cần tìm giá trị của \(x\) và \(y\) sao cho tổng lợi nhuận lớn nhất. Ta có: \[ L = 0.08x + 0.12y + 0.07(1200 - x - y) = 0.08x + 0.12y + 84 - 0.07x - 0.07y = 0.01x + 0.05y + 84 \] Ta cần tối đa hóa biểu thức \(0.01x + 0.05y\). Xét các điểm vi phạm các điều kiện: - Điểm \(A(0, 200)\): \(L = 0.01 \cdot 0 + 0.05 \cdot 200 + 84 = 94\) (triệu đồng) - Điểm \(B(250, 200)\): \(L = 0.01 \cdot 250 + 0.05 \cdot 200 + 84 = 2.5 + 10 + 84 = 96.5\) (triệu đồng) Vậy bác An nên đầu tư 250 triệu đồng trái phiếu ngân hàng, 200 triệu trái phiếu doanh nghiệp và 750 triệu trái phiếu chính phủ để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất. d) Lợi nhuận bác An thu được nhiều nhất sau một năm là 96,5 triệu đồng. Câu 15. a) Áp dụng định lý余弦定理求解BC的长度： \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A}) \] 代入已知值： \[ BC^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) \] \[ BC^2 = 25 + 36 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2}) \] \[ BC^2 = 25 + 36 + 30 \] \[ BC^2 = 91 \] \[ BC = \sqrt{91} \] b) 求外接圆半径R，使用公式： \[ R = \frac{a}{2 \sin(A)} \] 其中a是BC的长度，A是角A的度数： \[ R = \frac{\sqrt{91}}{2 \sin(120^\circ)} \] \[ R = \frac{\sqrt{91}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ R = \frac{\sqrt{91}}{\sqrt{3}} \] \[ R \approx 5.03 \text{ cm} \] c) 使用正弦定理求解cosC： \[ \frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)} \] \[ \frac{\sqrt{91}}{\sin(120^\circ)} = \frac{6}{\sin(B)} = \frac{5}{\sin(C)} \] \[ \sin(C) = \frac{5 \cdot \sin(120^\circ)}{\sqrt{91}} \] \[ \sin(C) = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{91}} \] \[ \sin(C) = \frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{91}} \] \[ \cos(C) = \sqrt{1 - \sin^2(C)} \] \[ \cos(C) \approx 0.84 \] d) 设M为BC上一点，使得BM = $\frac{1}{3}BC$。则CM = $\frac{2}{3}BC$。 使用余弦定理求解AM的长度： \[ AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\widehat{B}) \] 代入已知值： \[ AM^2 = 5^2 + \left(\frac{\sqrt{91}}{3}\right)^2 - 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{91}}{3} \cdot \cos(\widehat{B}) \] \[ AM^2 = 25 + \frac{91}{9} - 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{91}}{3} \cdot \cos(\widehat{B}) \] \[ AM^2 = 25 + \frac{91}{9} - 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{91}}{3} \cdot \cos(\widehat{B}) \] \[ AM \approx 2.5 \text{ cm} \] 最终答案： a) \( BC = \sqrt{91} \text{ cm} \) b) \( R \approx 5.03 \text{ cm} \) c) \( \cos(C) \approx 0.84 \) d) \( AM \approx 2.5 \text{ cm} \) Câu 16. a) Ta có $\overrightarrow{AB} = (-4 - (-2), -2 - 5) = (-2, -7)$ và $\overrightarrow{AC} = (1 - (-2), 5 - 5) = (3, 0)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \cdot 3 + (-7) \cdot 0 = -6$. Vậy $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -6$. Đáp án đúng là sai. b) Để tứ giác ABCD là hình bình hành, ta cần $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB} = (-2, -7)$. Giả sử D có tọa độ $(x, y)$, ta có $\overrightarrow{DC} = (1 - x, 5 - y)$. Do đó, ta cần: \[ 1 - x = -2 \quad \text{và} \quad 5 - y = -7 \] Giải hai phương trình này, ta được: \[ x = 3 \quad \text{và} \quad y = 12 \] Vậy tọa độ điểm D là $(3, 12)$. Đáp án đúng là sai. c) Ta cần tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. Trực tâm là giao điểm của ba đường cao của tam giác. Đường thẳng qua A và vuông góc với BC sẽ có phương trình: \[ y - 5 = m(x + 2) \] Trong đó, $m$ là hệ số góc của đường thẳng vuông góc với BC. Ta có: \[ BC = (1 - (-4), 5 - (-2)) = (5, 7) \] Hệ số góc của BC là $\frac{7}{5}$, vậy hệ số góc của đường thẳng vuông góc với BC là $-\frac{5}{7}$. Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với BC là: \[ y - 5 = -\frac{5}{7}(x + 2) \] \[ y = -\frac{5}{7}x - \frac{10}{7} + 5 \] \[ y = -\frac{5}{7}x + \frac{25}{7} \] Đường thẳng qua B và vuông góc với AC sẽ có phương trình: \[ y + 2 = n(x + 4) \] Trong đó, $n$ là hệ số góc của đường thẳng vuông góc với AC. Ta có: \[ AC = (3, 0) \] Hệ số góc của AC là 0, vậy hệ số góc của đường thẳng vuông góc với AC là $\infty$ (đường thẳng thẳng đứng). Phương trình đường thẳng qua B và vuông góc với AC là: \[ x = -4 \] Giao điểm của hai đường thẳng này là: \[ x = -4 \] \[ y = -\frac{5}{7}(-4) + \frac{25}{7} \] \[ y = \frac{20}{7} + \frac{25}{7} \] \[ y = \frac{45}{7} \] Vậy tọa độ trực tâm H là $H(-4, \frac{45}{7})$. Đáp án đúng là đúng. d) Ta cần tính $\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$. Ta đã biết $\overrightarrow{AB} = (-2, -7)$ và $\overrightarrow{AC} = (3, 0)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -6$. Độ dài của $\overrightarrow{AB}$ là: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} \] Độ dài của $\overrightarrow{AC}$ là: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \] Vậy: \[ \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-6}{\sqrt{53} \cdot 3} = \frac{-6}{3\sqrt{53}} = \frac{-2}{\sqrt{53}} = -\frac{2\sqrt{53}}{53} \] Đáp án đúng là sai. Kết luận: a) Sai b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 17. Để $B \subset A$, các trường hợp có thể xảy ra là: 1. $B$ là tập rỗng (không có nghiệm). 2. $B$ có một phần tử (nghiệm kép). 3. $B$ có hai phần tử (cả hai đều thuộc $A$). Trường hợp 1: $B$ là tập rỗng Phương trình $x^2 + (m+2)x - 2m - 8 = 0$ không có nghiệm khi $\Delta < 0$. Ta tính $\Delta$: \[ \Delta = (m+2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2m-8) = m^2 + 4m + 4 + 8m + 32 = m^2 + 12m + 36 \] \[ \Delta = (m+6)^2 \] Vì $(m+6)^2 \geq 0$ với mọi $m$, nên $\Delta$ không thể nhỏ hơn 0. Do đó, trường hợp này không xảy ra. Trường hợp 2: $B$ có một phần tử (nghiệm kép) Phương trình có nghiệm kép khi $\Delta = 0$: \[ (m+6)^2 = 0 \implies m = -6 \] Khi $m = -6$, phương trình trở thành: \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x-2)^2 = 0 \implies x = 2 \] Vậy $B = \{2\} \subset A$. Nên $m = -6$ thỏa mãn. Trường hợp 3: $B$ có hai phần tử (cả hai đều thuộc $A$) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$. Ta xét các khả năng: - Nếu $B = \{1, 2\}$, ta có: \[ x^2 + (m+2)x - 2m - 8 = 0 \] Thay $x = 1$ vào phương trình: \[ 1 + (m+2) - 2m - 8 = 0 \implies 1 + m + 2 - 2m - 8 = 0 \implies -m - 5 = 0 \implies m = -5 \] Thay $x = 2$ vào phương trình: \[ 4 + 2(m+2) - 2m - 8 = 0 \implies 4 + 2m + 4 - 2m - 8 = 0 \implies 0 = 0 \] Vậy $m = -5$ thỏa mãn. Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ là: \[ -6 + (-5) = -11 \] Đáp số: $-11$