rgbffghjhnnyctv

Câu 3. a) Ta có $\overrightarrow u = m\overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k$ và $\overrightarrow v = m\overrightarrow j + 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow k$. Tích vô hướng của hai vectơ là: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = (m\overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k) \cdot (m\overrightarrow j + 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow k) \] Ta tính từng thành phần: \[ (m\overrightarrow i) \cdot (m\overrightarrow j) = 0 \] \[ (m\overrightarrow i) \cdot (2\overrightarrow i) = 2m \] \[ (m\overrightarrow i) \cdot (4\overrightarrow k) = 0 \] \[ (2\overrightarrow j) \cdot (m\overrightarrow j) = 2m \] \[ (2\overrightarrow j) \cdot (2\overrightarrow i) = 0 \] \[ (2\overrightarrow j) \cdot (4\overrightarrow k) = 0 \] \[ (-3\overrightarrow k) \cdot (m\overrightarrow j) = 0 \] \[ (-3\overrightarrow k) \cdot (2\overrightarrow i) = 0 \] \[ (-3\overrightarrow k) \cdot (4\overrightarrow k) = -12 \] Do đó: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 2m + 2m - 12 = 4m - 12 \] Theo đề bài, ta có: \[ 4m - 12 = 8 \] Giải phương trình này: \[ 4m = 20 \] \[ m = 5 \] Vậy giá trị của \( m \) là 5. b) Ta có $\overrightarrow u = (1, -2, 1)$ và $\overrightarrow v = (-2, 1, 1)$. Tích vô hướng của hai vectơ là: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -2 - 2 + 1 = -3 \] Tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow u| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow v| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\overrightarrow u, \overrightarrow v) = \frac{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v}{|\overrightarrow u| |\overrightarrow v|} = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] Vậy góc giữa hai vectơ là: \[ \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \] c) Ta có các điểm \( A(0,0,0) \), \( B(2,0,0) \), \( C(0,2,0) \), và \( A'(0,0,2) \). Vectơ \( \overrightarrow{BC'} \) là: \[ \overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{C'} - \overrightarrow{B} = (0,2,2) - (2,0,0) = (-2,2,2) \] Vectơ \( \overrightarrow{A'C} \) là: \[ \overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A'} = (0,2,0) - (0,0,2) = (0,2,-2) \] Tích vô hướng của hai vectơ là: \[ \overrightarrow{BC'} \cdot \overrightarrow{A'C} = (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 0 + 4 - 4 = 0 \] Vì tích vô hướng bằng 0, nên góc giữa hai vectơ là 90°. d) Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Đáp án đúng là: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Câu 4. a) Đúng vì điểm F nằm trên trục Oy và có tọa độ là (4;0;3). b) Đúng vì vectơ $\overrightarrow{AH}$ có tọa độ là (4;5;3). c) Đúng vì $\overrightarrow{AH} = (4;5;3)$ và $\overrightarrow{AF} = (4;0;3)$, ta có: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AF} = 4 \times 4 + 5 \times 0 + 3 \times 3 = 16 + 0 + 9 = 25 \] d) Sai vì góc giữa hai mặt phẳng (FGQP) và (FGHE) không phải là 26,6°. Để tính góc giữa hai mặt phẳng, ta cần tìm góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Ta có: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (FGQP) là $\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{FG} \times \overrightarrow{FP}$. - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (FGHE) là $\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{FG} \times \overrightarrow{FH}$. Tuy nhiên, do không có đủ thông tin về các điểm cụ thể để tính toán chính xác, ta không thể xác định góc này. Vì vậy, ta không thể khẳng định rằng góc này bằng 26,6°. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai. Câu 1. Để tính $|\overrightarrow a - \overrightarrow b|$, ta sẽ sử dụng công thức liên quan đến độ dài của tổng và hiệu của hai vectơ. Bước 1: Tính $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ từ điều kiện đã cho. Ta biết rằng: \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b|^2 = |\overrightarrow a|^2 + |\overrightarrow b|^2 + 2 \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \] Thay các giá trị vào: \[ 6^2 = 3^2 + 4^2 + 2 \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \] \[ 36 = 9 + 16 + 2 \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \] \[ 36 = 25 + 2 \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \] \[ 2 \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 11 \] \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \frac{11}{2} \] Bước 2: Tính $|\overrightarrow a - \overrightarrow b|$. Ta biết rằng: \[ |\overrightarrow a - \overrightarrow b|^2 = |\overrightarrow a|^2 + |\overrightarrow b|^2 - 2 \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \] Thay các giá trị vào: \[ |\overrightarrow a - \overrightarrow b|^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \left(\frac{11}{2}\right) \] \[ |\overrightarrow a - \overrightarrow b|^2 = 9 + 16 - 11 \] \[ |\overrightarrow a - \overrightarrow b|^2 = 14 \] Do đó: \[ |\overrightarrow a - \overrightarrow b| = \sqrt{14} \approx 3.74 \] Vậy, $|\overrightarrow a - \overrightarrow b| \approx 3.74$. Câu 2. Trước tiên, ta nhận thấy rằng lực căng của ba sợi dây OA, OB, OC đều bằng nhau và mỗi sợi dây tạo với mặt phẳng trần nhà một góc 45°. Do đó, ta có thể phân tích lực căng của mỗi sợi dây thành hai thành phần: một thành phần dọc thẳng đứng và một thành phần nằm ngang. Ta gọi trọng lượng của chiếc đèn là \( W \). Vì ba sợi dây OA, OB, OC đều vuông góc với nhau và lực căng của chúng đều bằng nhau, nên ta có thể suy ra rằng tổng các thành phần thẳng đứng của lực căng từ ba sợi dây sẽ cân bằng với trọng lượng của chiếc đèn. Mỗi sợi dây tạo với mặt phẳng trần nhà một góc 45°, do đó thành phần thẳng đứng của lực căng mỗi sợi dây là: \[ F_{1y} = F_{2y} = F_{3y} = |\overrightarrow{F_1}| \sin(45^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \text{ (N)} \] Tổng các thành phần thẳng đứng của lực căng từ ba sợi dây là: \[ F_y = 3 \times 8\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \text{ (N)} \] Do đó, trọng lượng của chiếc đèn là: \[ W = 24\sqrt{2} \approx 24 \times 1.414 = 33.936 \text{ (N)} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần chục, ta có: \[ W \approx 34.0 \text{ (N)} \] Vậy trọng lượng của chiếc đèn là 34.0 N. Câu 3. Điểm \( M(x; y; z) \) thuộc trục hoành nên \( y = 0 \) và \( z = 0 \). Do đó, ta có \( M(x; 0; 0) \). Ta tính khoảng cách từ \( M \) đến \( B \) và \( C \): - Khoảng cách \( MB \): \[ MB = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 1} \] - Khoảng cách \( MC \): \[ MC = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 4)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 16 + 25} = \sqrt{(x - 1)^2 + 41} \] Theo đề bài, \( MB = MC \), do đó: \[ \sqrt{(x - 2)^2 + 1} = \sqrt{(x - 1)^2 + 41} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (x - 2)^2 + 1 = (x - 1)^2 + 41 \] Mở rộng các bình phương: \[ x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 2x + 1 + 41 \] \[ x^2 - 4x + 5 = x^2 - 2x + 42 \] Trừ \( x^2 \) từ cả hai vế: \[ -4x + 5 = -2x + 42 \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến \( x \) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ -4x + 2x = 42 - 5 \] \[ -2x = 37 \] Chia cả hai vế cho \(-2\): \[ x = -\frac{37}{2} \] Do đó, tọa độ của điểm \( M \) là \( \left( -\frac{37}{2}; 0; 0 \right) \). Giá trị của \( 2x + y + z \) là: \[ 2 \left( -\frac{37}{2} \right) + 0 + 0 = -37 \] Vậy giá trị của \( 2x + y + z \) là \(-37\). Câu 4. Để tính giá trị của biểu thức \( A = |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| + |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính \( |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| \): - Ta sử dụng công thức tính độ dài vectơ hiệu: \[ |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})} \] - Ta có: \[ (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} \] - Thay các giá trị đã biết: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2 = 4^2 = 16 \] \[ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{b}|^2 = 3^2 = 9 \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(120^\circ) = 4 \times 3 \times (-\frac{1}{2}) = -6 \] - Do đó: \[ (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 16 - 2(-6) + 9 = 16 + 12 + 9 = 37 \] - Vậy: \[ |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{37} \approx 6.08 \] 2. Tính \( |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| \): - Ta sử dụng công thức tính độ dài vectơ tổng: \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})} \] - Ta có: \[ (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} \] - Thay các giá trị đã biết: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = 16 \] \[ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} = 9 \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -6 \] - Do đó: \[ (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 16 + 2(-6) + 9 = 16 - 12 + 9 = 13 \] - Vậy: \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{13} \approx 3.61 \] 3. Tính giá trị của biểu thức \( A \): - Ta có: \[ A = |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| + |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| \approx 6.08 + 3.61 = 9.69 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là \( 9.69 \). Câu 5. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz: - Điểm O có tọa độ (0, 0, 0) - Điểm A có tọa độ (1, 0, 0) - Điểm B có tọa độ (0, 1, 0) - Điểm C có tọa độ (0, 0, 1) M là trung điểm của AB, do đó tọa độ của M là: \[ M = \left( \frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) \] Ta viết các vectơ: \[ \overrightarrow{OM} = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) \] \[ \overrightarrow{AC} = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1) \] Bây giờ, ta tính tích vô hướng của hai vectơ này: \[ \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC} = \left( \frac{1}{2} \right)(-1) + \left( \frac{1}{2} \right)(0) + (0)(1) = -\frac{1}{2} \] Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] Côsin góc giữa hai vectơ là: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{OM}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-\frac{1}{2}}{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2} \] Do đó, ta có: \[ \cos(\theta) = -\frac{1}{2} \] Từ đây, ta thấy rằng \(\frac{a}{b} = \frac{1}{2}\). Vậy \(a = 1\) và \(b = 2\). Cuối cùng, ta tính \(Q = a \cdot b\): \[ Q = 1 \cdot 2 = 2 \] Đáp số: \(Q = 2\). Câu 6. Trước tiên, ta xác định tọa độ của điểm $K_0$. Vì $K_0M = K_0N = K_0P = K_0Q$, nên $K_0$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(MNPQ)$ đi qua tâm của hình vuông này. Tâm của hình vuông $MNPQ$ là điểm $O'(45; 60; 30)$. Do đó, tọa độ của $K_0$ sẽ là $(45; 60; 25)$ vì cao độ của $K_0$ là 25 m. Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm $K_1$. Vì camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm $K_1$ với cao độ bằng 19 m, nên tọa độ của $K_1$ sẽ là $(45; 60; 19)$. Bây giờ, ta tính vectơ $\overrightarrow{K_0K_1}$: \[ \overrightarrow{K_0K_1} = (45 - 45, 60 - 60, 19 - 25) = (0, 0, -6) \] Vậy $a = 0$, $b = 0$, và $c = -6$. Ta có: \[ P = a + b - c = 0 + 0 - (-6) = 6 \] Đáp số: $P = 6$.