Câu 3.
a) Ta có và .
Tích vô hướng của hai vectơ là:
Ta tính từng thành phần:
Do đó:
Theo đề bài, ta có:
Giải phương trình này:
Vậy giá trị của là 5.
b) Ta có và .
Tích vô hướng của hai vectơ là:
Tính độ dài của mỗi vectơ:
Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ:
Vậy góc giữa hai vectơ là:
c) Ta có các điểm , , , và .
Vectơ là:
Vectơ là:
Tích vô hướng của hai vectơ là:
Vì tích vô hướng bằng 0, nên góc giữa hai vectơ là 90°.
d) Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ và là:
Đáp án đúng là:
Câu 4.
a) Đúng vì điểm F nằm trên trục Oy và có tọa độ là (4;0;3).
b) Đúng vì vectơ có tọa độ là (4;5;3).
c) Đúng vì và , ta có:
d) Sai vì góc giữa hai mặt phẳng (FGQP) và (FGHE) không phải là 26,6°. Để tính góc giữa hai mặt phẳng, ta cần tìm góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Ta có:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (FGQP) là .
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (FGHE) là .
Tuy nhiên, do không có đủ thông tin về các điểm cụ thể để tính toán chính xác, ta không thể xác định góc này. Vì vậy, ta không thể khẳng định rằng góc này bằng 26,6°.
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Câu 1.
Để tính , ta sẽ sử dụng công thức liên quan đến độ dài của tổng và hiệu của hai vectơ.
Bước 1: Tính từ điều kiện đã cho.
Ta biết rằng:
Thay các giá trị vào:
Bước 2: Tính .
Ta biết rằng:
Thay các giá trị vào:
Do đó:
Vậy, .
Câu 2.
Trước tiên, ta nhận thấy rằng lực căng của ba sợi dây OA, OB, OC đều bằng nhau và mỗi sợi dây tạo với mặt phẳng trần nhà một góc 45°. Do đó, ta có thể phân tích lực căng của mỗi sợi dây thành hai thành phần: một thành phần dọc thẳng đứng và một thành phần nằm ngang.
Ta gọi trọng lượng của chiếc đèn là .
Vì ba sợi dây OA, OB, OC đều vuông góc với nhau và lực căng của chúng đều bằng nhau, nên ta có thể suy ra rằng tổng các thành phần thẳng đứng của lực căng từ ba sợi dây sẽ cân bằng với trọng lượng của chiếc đèn.
Mỗi sợi dây tạo với mặt phẳng trần nhà một góc 45°, do đó thành phần thẳng đứng của lực căng mỗi sợi dây là:
Tổng các thành phần thẳng đứng của lực căng từ ba sợi dây là:
Do đó, trọng lượng của chiếc đèn là:
Làm tròn kết quả đến hàng phần chục, ta có:
Vậy trọng lượng của chiếc đèn là 34.0 N.
Câu 3.
Điểm thuộc trục hoành nên và . Do đó, ta có .
Ta tính khoảng cách từ đến và :
- Khoảng cách :
- Khoảng cách :
Theo đề bài, , do đó:
Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai:
Mở rộng các bình phương:
Trừ từ cả hai vế:
Di chuyển các hạng tử liên quan đến sang một vế và các hằng số sang vế còn lại:
Chia cả hai vế cho :
Do đó, tọa độ của điểm là .
Giá trị của là:
Vậy giá trị của là .
Câu 4.
Để tính giá trị của biểu thức , ta thực hiện các bước sau:
1. Tính :
- Ta sử dụng công thức tính độ dài vectơ hiệu:
- Ta có:
- Thay các giá trị đã biết:
- Do đó:
- Vậy:
2. Tính :
- Ta sử dụng công thức tính độ dài vectơ tổng:
- Ta có:
- Thay các giá trị đã biết:
- Do đó:
- Vậy:
3. Tính giá trị của biểu thức :
- Ta có:
Vậy giá trị của biểu thức là .
Câu 5.
Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz:
- Điểm O có tọa độ (0, 0, 0)
- Điểm A có tọa độ (1, 0, 0)
- Điểm B có tọa độ (0, 1, 0)
- Điểm C có tọa độ (0, 0, 1)
M là trung điểm của AB, do đó tọa độ của M là:
Ta viết các vectơ:
Bây giờ, ta tính tích vô hướng của hai vectơ này:
Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi vectơ:
Côsin góc giữa hai vectơ là:
Do đó, ta có:
Từ đây, ta thấy rằng . Vậy và .
Cuối cùng, ta tính :
Đáp số: .
Câu 6.
Trước tiên, ta xác định tọa độ của điểm . Vì , nên nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đi qua tâm của hình vuông này. Tâm của hình vuông là điểm .
Do đó, tọa độ của sẽ là vì cao độ của là 25 m.
Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm . Vì camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm với cao độ bằng 19 m, nên tọa độ của sẽ là .
Bây giờ, ta tính vectơ :
Vậy , , và . Ta có:
Đáp số: .