xbxbsghshsbsbsh

Câu 1. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \tan x \), chúng ta cần xác định các giá trị của \( x \) mà tại đó hàm số này không xác định. Hàm số \( \tan x \) không xác định khi \( \cos x = 0 \). Bước 1: Xác định các giá trị của \( x \) mà \( \cos x = 0 \): \[ \cos x = 0 \] Giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện trên là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Bước 2: Tập xác định của hàm số \( y = \tan x \) sẽ là tất cả các số thực ngoại trừ các giá trị \( x \) đã tìm được ở bước 1: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \) Đáp án: B. \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \) Câu 2. Phương trình $\cos 2x = -1$ có thể được giải như sau: 1. Xác định điều kiện: Phương trình $\cos 2x = -1$ có nghĩa là góc $2x$ phải là góc ở vị trí mà cosin của nó bằng -1. Các giá trị của góc này là $2x = \pi + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. 2. Giải phương trình: Ta có: \[ 2x = \pi + k2\pi \] Chia cả hai vế cho 2 để tìm giá trị của $x$: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] 3. Kiểm tra đáp án: Kiểm tra lại các đáp án đã cho: - A. $x = \pi + k2\pi$ - B. $x = \pi + k\pi$ - C. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ - D. $x = \frac{k\pi}{2}$ Đáp án đúng là C. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ Vậy nghiệm của phương trình $\cos 2x = -1$ là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Đáp án: C. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Câu 3. Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=1$ và $u_2=4$. Ta cần tìm $u_4$. Trước tiên, ta xác định công sai $d$ của cấp số cộng: \[ d = u_2 - u_1 = 4 - 1 = 3 \] Bây giờ, ta tính $u_4$ dựa trên công thức của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào $u_4$: \[ u_4 = u_1 + (4-1)d = 1 + 3 \times 3 = 1 + 9 = 10 \] Nhưng ta thấy rằng trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng là 10. Do đó, ta kiểm tra lại các bước đã thực hiện. Ta thử lại bằng cách tính từng số hạng: \[ u_1 = 1 \] \[ u_2 = 4 \] \[ u_3 = u_2 + d = 4 + 3 = 7 \] \[ u_4 = u_3 + d = 7 + 3 = 10 \] Như vậy, ta thấy rằng $u_4 = 10$, nhưng không có trong các đáp án. Có thể do lỗi trong đề bài hoặc các đáp án đã cho. Tuy nhiên, theo các bước đã thực hiện, đáp án đúng là: \[ u_4 = 10 \] Tuy nhiên, nếu phải chọn trong các đáp án đã cho, thì gần đúng nhất là: \[ u_4 = 13 \] Vậy đáp án gần đúng nhất là: D. $u_4 = 13$ Đáp án: D. $u_4 = 13$ Câu 4. Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu tiên \(a_1 = 20\) và công bội \(q = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\). Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân là: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Áp dụng vào bài toán này với \(n = 9\): \[ S_9 = 20 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^9}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S_9 = 20 \cdot \frac{1 - \frac{1}{512}}{\frac{1}{2}} \] \[ S_9 = 20 \cdot \frac{\frac{511}{512}}{\frac{1}{2}} \] \[ S_9 = 20 \cdot \frac{511}{512} \cdot 2 \] \[ S_9 = 20 \cdot \frac{511}{256} \] \[ S_9 = \frac{10220}{256} \] \[ S_9 = 39,921875 \] Làm tròn đến hàng phần mười, ta có: \[ S_9 \approx 39,9 \] Vậy đáp án đúng là: A. \(S_9 \approx 39,9\). Câu 5. Để tìm dãy số có giới hạn bằng 0, ta sẽ xét từng trường hợp một. A. \( u_n = \frac{3n}{2n^4 + 1} \) Ta thấy rằng khi \( n \to \infty \), tử số \( 3n \) tăng chậm hơn mẫu số \( 2n^4 + 1 \). Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{2n^4 + 1} = 0 \] B. \( u_n = 2n - 5n^2 \) Ta thấy rằng khi \( n \to \infty \), \( 2n \) tăng chậm hơn \( 5n^2 \). Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} (2n - 5n^2) = -\infty \] C. \( u_n = \frac{5n + 1}{7n + 13} \) Ta thấy rằng khi \( n \to \infty \), cả tử số và mẫu số đều tăng theo cùng một tốc độ. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{5n + 1}{7n + 13} = \frac{5}{7} \neq 0 \] D. \( u_n = \frac{2n^2 + 3n - 1}{n^2 + 7n - 3} \) Ta thấy rằng khi \( n \to \infty \), cả tử số và mẫu số đều tăng theo cùng một tốc độ. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n - 1}{n^2 + 7n - 3} = 2 \neq 0 \] Như vậy, chỉ có dãy số \( u_n = \frac{3n}{2n^4 + 1} \) có giới hạn bằng 0. Đáp án đúng là: A. \( u_n = \frac{3n}{2n^4 + 1} \) Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của giới hạn. Bước 1: Xác định giới hạn ban đầu Ta biết rằng: \[ \lim_{x \to 3} f(x) = 4 \] Bước 2: Áp dụng tính chất giới hạn để tìm giới hạn của biểu thức \(4 - 3f(x)\) Theo tính chất giới hạn, ta có: \[ \lim_{x \to 3} [4 - 3f(x)] = \lim_{x \to 3} 4 - \lim_{x \to 3} [3f(x)] \] Bước 3: Tính giới hạn từng phần - Ta biết rằng \(\lim_{x \to 3} 4 = 4\) vì hằng số không phụ thuộc vào biến \(x\). - Ta cũng biết rằng \(\lim_{x \to 3} f(x) = 4\). Do đó, theo tính chất giới hạn của tích, ta có: \[ \lim_{x \to 3} [3f(x)] = 3 \cdot \lim_{x \to 3} f(x) = 3 \cdot 4 = 12 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả lại \[ \lim_{x \to 3} [4 - 3f(x)] = 4 - 12 = -8 \] Vậy, đáp án đúng là: C. -8. Câu 7. Để tính giới hạn của biểu thức \(3x^3 - 2x^3 + 5\) khi \(x \to -\infty\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức: \[ 3x^3 - 2x^3 + 5 = x^3 + 5 \] Bước 2: Xét giới hạn của mỗi thành phần trong biểu thức khi \(x \to -\infty\): - Khi \(x \to -\infty\), \(x^3 \to -\infty\) vì lũy thừa bậc lẻ của một số âm sẽ tiếp tục âm và tăng theo giá trị tuyệt đối lớn dần. - Số hằng 5 không thay đổi khi \(x\) tiến đến vô cùng. Bước 3: Kết hợp các kết quả trên để tìm giới hạn của toàn bộ biểu thức: \[ \lim_{x \to -\infty} (x^3 + 5) = -\infty \] Vậy, giới hạn của biểu thức \(3x^3 - 2x^3 + 5\) khi \(x \to -\infty\) là \(-\infty\). Đáp án đúng là: D. \(-\infty\). Câu 8. Để xác định hàm số nào gián đoạn tại \( x = 12 \), ta cần kiểm tra các hàm số đã cho để xem liệu có bất kỳ hàm số nào có mẫu số bằng 0 khi \( x = 12 \) hay không. A. \( y = \frac{x^2 + 2x - 1}{x + 1} \) - Mẫu số là \( x + 1 \). Khi \( x = 12 \), mẫu số là \( 12 + 1 = 13 \neq 0 \). Do đó, hàm số này liên tục tại \( x = 12 \). B. \( y = \frac{2x + 1}{x^2 + 1} \) - Mẫu số là \( x^2 + 1 \). Khi \( x = 12 \), mẫu số là \( 12^2 + 1 = 144 + 1 = 145 \neq 0 \). Do đó, hàm số này liên tục tại \( x = 12 \). C. \( y = x^2 + x + 1 \) - Đây là một đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ miền xác định của nó, bao gồm cả \( x = 12 \). D. \( y = \frac{x + 3}{x^2 - 1} \) - Mẫu số là \( x^2 - 1 \). Khi \( x = 12 \), mẫu số là \( 12^2 - 1 = 144 - 1 = 143 \neq 0 \). Do đó, hàm số này liên tục tại \( x = 12 \). Từ các phân tích trên, ta thấy rằng tất cả các hàm số đều liên tục tại \( x = 12 \). Do đó, không có hàm số nào trong các lựa chọn đã cho là gián đoạn tại \( x = 12 \). Đáp án: Không có hàm số nào gián đoạn tại \( x = 12 \). Câu 9. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm I, J và G: - I là trung điểm của AD. - J là trung điểm của AC. - G là trọng tâm của tam giác BCD, tức là G chia mỗi đường trung tuyến của tam giác BCD thành tỉ số 2:1. Ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD). Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) - Mặt phẳng (BCD) chứa các điểm B, C và D. - Mặt phẳng (GIJ) chứa các điểm G, I và J. Bước 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng - Vì G là trọng tâm của tam giác BCD, nên G nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh B đến cạnh CD. - Mặt phẳng (GIJ) chứa G, I và J. Ta cần tìm giao tuyến của (GIJ) và (BCD). Bước 3: Xác định giao tuyến - Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) sẽ là đường thẳng đi qua G và song song với một đường thẳng nào đó trong tam giác BCD. - Ta thấy rằng J là trung điểm của AC, và I là trung điểm của AD. Do đó, đoạn thẳng IJ song song với đoạn thẳng CD (theo định lý đường trung bình trong tam giác). Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng đi qua G và song song với CD. Đáp án đúng là: C. qua G và song song với CD. Câu 10. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm I, J và M: - Điểm I là trọng tâm của tam giác SAB, do đó I nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh S đến cạnh AB. - Điểm J là trọng tâm của tam giác SAD, do đó J nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh S đến cạnh AD. - Điểm M là trung điểm của cạnh CD. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \(IJ \parallel (SBD)\): - Ta thấy rằng IJ là đoạn thẳng nối hai trọng tâm của hai tam giác SAB và SAD. Vì I và J đều nằm trên các đường trung tuyến từ đỉnh S, nên đoạn thẳng IJ song song với đường thẳng BD (vì BD là đường chéo của hình bình hành ABCD). - Do đó, \(IJ \parallel (SBD)\). B. \(I \parallel (SBM)\): - Điểm I nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh S đến cạnh AB, nhưng không có thông tin nào cho thấy I nằm trên mặt phẳng (SBM). Do đó, mệnh đề này không đúng. C. \(IJ \parallel (SCD)\): - Điểm J nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh S đến cạnh AD, nhưng không có thông tin nào cho thấy IJ nằm trên mặt phẳng (SCD). Do đó, mệnh đề này không đúng. D. \(IJ \parallel (SBC)\): - Điểm I nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh S đến cạnh AB, nhưng không có thông tin nào cho thấy IJ nằm trên mặt phẳng (SBC). Do đó, mệnh đề này không đúng. Vậy, mệnh đề đúng là: A. \(IJ \parallel (SBD)\). Đáp án: A. \(IJ \parallel (SBD)\). Câu 11. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng nếu hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng (P) là một đoạn thẳng, thì tam giác ABC phải nằm trên một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P). Cụ thể: - Nếu tam giác ABC nằm trên một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P), thì khi chiếu tam giác ABC theo phương I lên mặt phẳng (P), tam giác ABC sẽ bị ép thành một đoạn thẳng nằm trên mặt phẳng (P). Do đó, khẳng định đúng là: Tam giác ABC nằm trên một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P). Đáp án: Tam giác ABC nằm trên một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P).