Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... a) Tính tổng: $S=\frac1{1^4+1^2+1}+\frac2{2^4+2^2+1}+\frac3{3^4+3^2+1}+...+\frac{2011}{2011^4+2011^2+1}.$

Question

Accepted Answer

Để tính tổng $ S = \frac{1}{1^4 + 1^2 + 1} + \frac{2}{2^4 + 2^2 + 1} + \frac{3}{3^4 + 3^2 + 1} + ... + \frac{2011}{2011^4 + 2011^2 + 1} $, ta sẽ tìm cách biến đổi từng phân số trong tổng này thành dạng dễ tính hơn.

Xét một phân số chung $ \frac{n}{n^4 + n^2 + 1} $.

Ta thấy rằng:
$$ n^4 + n^2 + 1 = (n^2 + 1)^2 - n^2 = (n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1). $$

Do đó:
$$ \frac{n}{n^4 + n^2 + 1} = \frac{n}{(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1)}. $$

Ta sẽ phân tích phân số này thành hai phân số riêng biệt:
$$ \frac{n}{(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1)} = \frac{A}{n^2 + n + 1} + \frac{B}{n^2 - n + 1}. $$

Nhân cả hai vế với mẫu số chung:
$$ n = A(n^2 - n + 1) + B(n^2 + n + 1). $$

Phân tích theo phương pháp hệ số bất định:
$$ n = An^2 - An + A + Bn^2 + Bn + B. $$
$$ n = (A + B)n^2 + (-A + B)n + (A + B). $$

So sánh hệ số của $ n^2 $, $ n $ và hằng số:
$$ A + B = 0, $$
$$ -A + B = 1, $$
$$ A + B = 0. $$

Giải hệ phương trình này:
$$ A + B = 0 \Rightarrow B = -A. $$
$$ -A + B = 1 \Rightarrow -A - A = 1 \Rightarrow -2A = 1 \Rightarrow A = -\frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}. $$

Vậy:
$$ \frac{n}{(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1)} = \frac{-\frac{1}{2}}{n^2 + n + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{n^2 - n + 1}. $$

Tổng $ S $ trở thành:
$$ S = \sum_{n=1}^{2011} \left( \frac{-\frac{1}{2}}{n^2 + n + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{n^2 - n + 1} \right). $$

Nhận thấy đây là một tổng có dạng tổng của các phân số liên tiếp, ta có thể viết lại dưới dạng:
$$ S = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{2011} \left( \frac{1}{n^2 - n + 1} - \frac{1}{n^2 + n + 1} \right). $$

Đây là một tổng có dạng tổng của các phân số liên tiếp, do đó nhiều phân số sẽ triệt tiêu nhau:
$$ S = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{1^2 - 1 + 1} - \frac{1}{1^2 + 1 + 1} \right) + \left( \frac{1}{2^2 - 2 + 1} - \frac{1}{2^2 + 2 + 1} \right) + ... + \left( \frac{1}{2011^2 - 2011 + 1} - \frac{1}{2011^2 + 2011 + 1} \right) \right). $$

Các phân số giữa sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:
$$ S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2011^2 + 2011 + 1} \right). $$

Vậy:
$$ S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2011^2 + 2011 + 1} \right). $$

Đáp số: 
$$ S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2011^2 + 2011 + 1} \right). $$