Cho hàm số $y = x^2 + 2x + 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = y + \dfrac{1}{y}$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A = y + \dfrac{1}{y} $ với $ y = x^2 + 2x + 3 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ y $:
   - Hàm số $ y = x^2 + 2x + 3 $ là một hàm bậc hai có dạng $ ax^2 + bx + c $ với $ a = 1 $, $ b = 2 $, và $ c = 3 $.
   - Vì $ a > 0 $, đồ thị của hàm số này là một parabol mở lên, do đó nó có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.
   - Đỉnh của parabol $ y = ax^2 + bx + c $ nằm tại $ x = -\dfrac{b}{2a} $.
   - Thay $ a = 1 $ và $ b = 2 $ vào công thức, ta có:
     $$
     x = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1
     $$
   - Thay $ x = -1 $ vào hàm số $ y = x^2 + 2x + 3 $:
     $$
     y = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2
     $$
   - Vậy giá trị nhỏ nhất của $ y $ là 2.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ A = y + \dfrac{1}{y} $:
   - Ta đã biết $ y \geq 2 $. Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của $ A = y + \dfrac{1}{y} $ trong khoảng $ y \geq 2 $.
   - Xét hàm $ f(y) = y + \dfrac{1}{y} $ với $ y \geq 2 $.
   - Ta sẽ kiểm tra giá trị của $ f(y) $ tại $ y = 2 $:
     $$
     f(2) = 2 + \dfrac{1}{2} = 2 + 0.5 = 2.5
     $$
   - Để chứng minh rằng $ f(y) $ đạt giá trị nhỏ nhất tại $ y = 2 $, ta sẽ so sánh $ f(y) $ với các giá trị khác của $ y $ lớn hơn 2.
   - Giả sử $ y_1 > 2 $ và $ y_2 > 2 $. Ta sẽ chứng minh rằng $ f(y_1) > f(2) $ và $ f(y_2) > f(2) $.
   - Xét $ y_1 = 3 $:
     $$
     f(3) = 3 + \dfrac{1}{3} = 3 + 0.333 \approx 3.333
     $$
     Rõ ràng $ f(3) > f(2) $.

- Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ A = y + \dfrac{1}{y} $ là 2.5, đạt được khi $ y = 2 $.

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A = y + \dfrac{1}{y} $ là 2.5, đạt được khi $ y = 2 $.