Bài 3. Cho tam giác ABC, O là trọng tâm của tam giác. Gọi E, F, G lần lượt là các điểm đối xứng với điểm O qua trung điểm của AB, BC, AC. Chứng mình lục giác AEBFCG có các cặp cạnh đối song song và bằn...

ΔABC đều
mà O là trọng tâm
nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp
suy ra OA=OB=OC;AO vuông góc BC; CO vuông góc AB; BO vuông góc AC
Xét tứ giác AOBE có
AB cắt OE tại trung điểm của mỗi đường
AO=OB
suy ra AOBE là hình thoi
suy ra AE=EB; $\displaystyle \widehat{EAO} =2\widehat{OAB}$
Xét tứ giác AOCG có
AC cắt OG tại trung điểm của mỗi đường
AO=OC
suy ra AOCG là hình thoi
suy ra $\displaystyle \widehat{OAG} =2\widehat{OAC}$; AG = GC 
suy ra $\displaystyle \widehat{EAG} =2\widehat{BAC} =120^{0}$
$\displaystyle \widehat{EAO} =\frac{1}{2}\widehat{EAG} =60^{0}$
suy ra $\displaystyle \widehat{AEB} =120^{0}$
suy ra $\displaystyle \widehat{AGC} =120^{0}$
Xét tứ giác BOCF có
OF cắt BC tại trung điểm của mỗi đường
OB=OC
suy r raBOCF là hình thoi
suy ra OF vuông góc BC; $\displaystyle \widehat{BFC} =\widehat{BOC} =120^{0}$; FB=FC
suy ra A,O,F thẳng hàng
AOBE là hình thoi
suy ra AB vuông góc OE
suy ra C,O,E thẳng hàng
suy ra CE//BF
suy ra OE//BF
BOFC là hình thoi
suy ra $\displaystyle \widehat{OBF} =180^{0} -120^{0} =60^{0} ;\ \widehat{OCF} =\widehat{OBF} =60^{0}$
Xét tứ giác EBFO có
EB//FO
EO//BF
suy ra EBFO là hình bình hành
$\displaystyle \widehat{EBF} =2\widehat{OBF} =120^{0} ;$EB = BF 
Xét tứ giác FOGC có
FO//GC
FC//GO
suy ra FOGC là hình bình hành
suy ra $\displaystyle \widehat{FCG} =2\widehat{FCO} =120^{0}$; FC = CG 
suy ra AE = EB = BF = FC = CG = AG;  góc EAG=góc AGC=góc GCF=góc CFB=góc FBE=góc BEA=120 độ
Vậy AEBFCG là lục giác đều