Bài 7. Cho tam giác đều ABC, đường cao AH và điểm M thuộc miền trong của tam giác. Gọi P, Q. R lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh: MP+MQMRAH

Bài 7. Ta sẽ chứng minh rằng \(MP + MQ + MR = AH\) bằng cách sử dụng tính chất của tam giác đều và diện tích tam giác. 1. Tính diện tích tam giác ABC: - Tam giác ABC là tam giác đều, do đó diện tích của nó có thể được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH \] 2. Tính diện tích tam giác AMB, AMC và BMC: - Diện tích tam giác AMB: \[ S_{AMB} = \frac{1}{2} \times AB \times MR \] - Diện tích tam giác AMC: \[ S_{AMC} = \frac{1}{2} \times AC \times MQ \] - Diện tích tam giác BMC: \[ S_{BMC} = \frac{1}{2} \times BC \times MP \] 3. Tổng diện tích của ba tam giác AMB, AMC và BMC: - Tổng diện tích của ba tam giác này phải bằng diện tích của tam giác ABC: \[ S_{AMB} + S_{AMC} + S_{BMC} = S_{ABC} \] - Thay các diện tích đã tính vào: \[ \frac{1}{2} \times AB \times MR + \frac{1}{2} \times AC \times MQ + \frac{1}{2} \times BC \times MP = \frac{1}{2} \times BC \times AH \] 4. Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên AB = AC = BC: - Ta có: \[ \frac{1}{2} \times BC \times MR + \frac{1}{2} \times BC \times MQ + \frac{1}{2} \times BC \times MP = \frac{1}{2} \times BC \times AH \] - Chia cả hai vế cho \(\frac{1}{2} \times BC\): \[ MR + MQ + MP = AH \] Vậy ta đã chứng minh được \(MP + MQ + MR = AH\).