Bài 7. Cho tam giác đều ABC, đường cao AH và điểm M thuộc miền trong của tam giác. Gọi P,
Q. R lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến BC, AC, AB.
Chứng minh: MP+MQMRAH

Question

Accepted Answer

Bài 7.
Ta sẽ chứng minh rằng $MP + MQ + MR = AH$ bằng cách sử dụng tính chất của tam giác đều và diện tích tam giác.

1. Tính diện tích tam giác ABC:
   - Tam giác ABC là tam giác đều, do đó diện tích của nó có thể được tính bằng công thức:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH
     $$

2. Tính diện tích tam giác AMB, AMC và BMC:
   - Diện tích tam giác AMB:
     $$
     S_{AMB} = \frac{1}{2} \times AB \times MR
     $$
   - Diện tích tam giác AMC:
     $$
     S_{AMC} = \frac{1}{2} \times AC \times MQ
     $$
   - Diện tích tam giác BMC:
     $$
     S_{BMC} = \frac{1}{2} \times BC \times MP
     $$

3. Tổng diện tích của ba tam giác AMB, AMC và BMC:
   - Tổng diện tích của ba tam giác này phải bằng diện tích của tam giác ABC:
     $$
     S_{AMB} + S_{AMC} + S_{BMC} = S_{ABC}
     $$
   - Thay các diện tích đã tính vào:
     $$
     \frac{1}{2} \times AB \times MR + \frac{1}{2} \times AC \times MQ + \frac{1}{2} \times BC \times MP = \frac{1}{2} \times BC \times AH
     $$

4. Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên AB = AC = BC:
   - Ta có:
     $$
     \frac{1}{2} \times BC \times MR + \frac{1}{2} \times BC \times MQ + \frac{1}{2} \times BC \times MP = \frac{1}{2} \times BC \times AH
     $$
   - Chia cả hai vế cho $\frac{1}{2} \times BC$:
     $$
     MR + MQ + MP = AH
     $$

Vậy ta đã chứng minh được $MP + MQ + MR = AH$.

Bài 7. Cho tam giác đều ABC, đường cao AH và điểm M thuộc miền trong của tam giác. Gọi P, Q. R lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh: MP+MQMRAH