vẽ hình và giải các câu hỏi Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 2. 1) Ta có $\widehat{CAM}=\widehat{COM}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng nửa góc tâm đối đỉnh) $\widehat{CAM}+\widehat{AMO}=90^{\circ}$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính) $\widehat{COM}+\widehat{AMO}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{COM}+\widehat{MAO}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{CAO}=90^{\circ}$ $\Rightarrow 4$ điểm A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn. 2) Ta có $\widehat{CAM}=\widehat{COM}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng nửa góc tâm đối đỉnh) $\widehat{CAM}=\widehat{AOM}$ (cùng chắn cung AM) $\Rightarrow \widehat{COM}=\widehat{AOM}$ $\Rightarrow OM$ là tia phân giác của $\widehat{COD}$ $\Rightarrow OM\perp CD$ $\Rightarrow \widehat{MOC}=\widehat{MOD}=45^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{COD}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{CAM}=\widehat{COM}=45^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{CAM}=\widehat{BDM}$ $\Rightarrow AC=CM$ và $BD=DM$ $\Rightarrow CD=AC+BD$ 3) Ta có $\widehat{CAM}=\widehat{COM}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng nửa góc tâm đối đỉnh) $\widehat{CAM}=\widehat{AOM}$ (cùng chắn cung AM) $\Rightarrow \widehat{COM}=\widehat{AOM}$ $\Rightarrow OM$ là tia phân giác của $\widehat{COD}$ $\Rightarrow OM\perp CD$ $\Rightarrow \widehat{MOC}=\widehat{MOD}=45^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{COD}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{CAM}=\widehat{COM}=45^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{CAM}=\widehat{BDM}$ $\Rightarrow AC=CM$ và $BD=DM$ $\Rightarrow CD=AC+BD$ $\Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{BFD}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{AEO}=\widehat{BFO}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{EOF}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{MEF}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{MOF}=90^{\circ}$ $\Rightarrow MEOF$ là hình chữ nhật. Bài 3. 1) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. - Xét tam giác AMB, ta có: + OA = OB (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn (O)) + MA = MB (vì cả hai đều là tiếp tuyến từ điểm M) + OM chung Do đó, tam giác AMB là tam giác cân tại M. - Vì tam giác AMB là tam giác cân tại M, nên đường cao hạ từ đỉnh M xuống đáy AB cũng là đường trung trực của AB. - Do đó, O nằm trên đường trung trực của AB, suy ra O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB. Vậy bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. 2) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BD. Gọi K là giao điểm của OI và MB. Chứng minh tứ giác OHBI là hình chữ nhật và KD là tiếp tuyến của đường tròn (O). - Ta có OI là đường trung trực của BD (vì I là trung điểm của BD), do đó OI vuông góc với BD tại I. - Vì OI vuông góc với BD, nên OI vuông góc với MB tại K (vì K là giao điểm của OI và MB). - Ta có OI vuông góc với MB tại K, suy ra OK vuông góc với MB tại K. - Vì OK vuông góc với MB tại K, nên OK là đường cao hạ từ đỉnh O xuống đáy MB của tam giác OMB. - Ta có OK là đường cao hạ từ đỉnh O xuống đáy MB của tam giác OMB, suy ra OK vuông góc với MB tại K. Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Bài 4. 1) Chứng minh A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn: - Ta có $\angle OMA = 90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính). - $\angle OPA = 90^\circ$ (vì Ax là tiếp tuyến tại A). - Vậy A, P, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM. 2) Chứng minh BM // OP: - Ta có $\angle OMP = \angle OAM$ (cùng chắn cung OM). - $\angle OAM = \angle OPM$ (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung). - Vậy $\angle OMP = \angle OPM$, suy ra BM // OP. 3) Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành: - Ta có ON vuông góc với AB tại O, suy ra ON vuông góc với BM tại N. - Vì BM // OP nên ON vuông góc với OP tại N. - Vậy ON là đường cao chung của hai đường thẳng BM và OP, suy ra OBNP là hình bình hành. 4) Chứng minh I, J, K thẳng hàng: - Ta có AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN cắt OM tại J. - Vì OBNP là hình bình hành nên ON // BP và OB // NP. - Ta có $\angle ONP = \angle OBP$ (góc so le trong). - $\angle OBP = \angle OPM$ (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung). - Vậy $\angle ONP = \angle OPM$, suy ra I, J, K thẳng hàng. Bài 5. 1) Chứng minh: \(OI \cdot OM = R^2\) - Xét tam giác \(OAM\) và tam giác \(OAI\): - \(OA\) chung. - \(\angle OAM = 90^\circ\) (vì \(AM\) là tiếp tuyến tại \(A\)). - \(\angle OAI = 90^\circ\) (vì \(OI \perp AB\)). Do đó, tam giác \(OAM\) và tam giác \(OAI\) đồng dạng theo trường hợp góc - cạnh - góc (\(g.c.g'\)). Từ đó ta có: \[ \frac{OA}{OI} = \frac{OM}{OA} \] \[ OA^2 = OI \cdot OM \] Vì \(OA = R\), nên: \[ R^2 = OI \cdot OM \] 2) Chứng minh \(MB\) là tiếp tuyến của \((O)\) và 4 điểm \(A\), \(B\), \(M\), \(O\) thuộc một đường tròn. - Ta đã biết \(AM\) là tiếp tuyến tại \(A\), do đó \(\angle OAM = 90^\circ\). - Xét tam giác \(OAB\) và tam giác \(OMB\): - \(OA = OB = R\) (bán kính). - \(OI \perp AB\) tại \(I\), do đó \(OI\) là đường cao hạ từ \(O\) xuống \(AB\). - \(OI \cdot OM = R^2\) (chứng minh ở phần trên). Từ đó ta có: \[ \angle OBM = 90^\circ \] Vậy \(MB\) là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(B\). - Xét tứ giác \(AOMB\): - \(\angle OAM = 90^\circ\) - \(\angle OBM = 90^\circ\) Hai góc này là góc nội tiếp và góc tiếp xúc, do đó tứ giác \(AOMB\) nội tiếp được trong một đường tròn. 3) Chứng minh \(MD \perp ON\). - Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \((O)\), tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(D\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(N\). - Vì \(AD\) là đường kính, nên \(\angle ABD = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Tiếp tuyến tại \(D\) vuông góc với bán kính \(OD\), tức là \(\angle ODN = 90^\circ\). Xét tam giác \(OND\) và tam giác \(OMD\): - \(OD\) chung. - \(\angle ODN = 90^\circ\) - \(\angle ODM = 90^\circ\) (vì \(MD\) là tiếp tuyến tại \(D\)) Do đó, tam giác \(OND\) và tam giác \(OMD\) đồng dạng theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (\(c.g.c'\)). Từ đó ta có: \[ \angle OMD = \angle OND \] Vì \(\angle ODN = 90^\circ\), nên \(\angle OMD = 90^\circ\). Vậy \(MD \perp ON\). Đáp số: \(OI \cdot OM = R^2\), \(MB\) là tiếp tuyến của \((O)\), 4 điểm \(A\), \(B\), \(M\), \(O\) thuộc một đường tròn, \(MD \perp ON\).