faijabkzsmab

Câu 11: Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của các giá trị: - Ta lấy trung điểm của mỗi khoảng rồi nhân với tần số tương ứng, sau đó chia tổng này cho tổng tần số. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng, sau đó chia tổng này cho tổng tần số. 3. Tính độ lệch chuẩn: - Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Bây giờ, ta thực hiện từng bước một: Bước 1: Tính trung bình cộng Trung điểm của các khoảng là: - [19; 19,5): 19,25 - [19,5; 20): 19,75 - [20; 20,5): 20,25 - [20,5; 21): 20,75 - [21; 21,5): 21,25 Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(19,25 \times 13) + (19,75 \times 45) + (20,25 \times 24) + (20,75 \times 12) + (21,25 \times 6)}{13 + 45 + 24 + 12 + 6} \] \[ \bar{x} = \frac{250,25 + 888,75 + 486 + 249 + 127,5}{100} = \frac{2001,5}{100} = 20,015 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai \(s^2\) được tính bằng công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{N} \] Trong đó, \(f_i\) là tần số, \(x_i\) là trung điểm của mỗi khoảng, \(\bar{x}\) là trung bình cộng, và \(N\) là tổng tần số. Ta tính từng phần: \[ (19,25 - 20,015)^2 = (-0,765)^2 = 0,585225 \] \[ (19,75 - 20,015)^2 = (-0,265)^2 = 0,070225 \] \[ (20,25 - 20,015)^2 = (0,235)^2 = 0,055225 \] \[ (20,75 - 20,015)^2 = (0,735)^2 = 0,540225 \] \[ (21,25 - 20,015)^2 = (1,235)^2 = 1,525225 \] Nhân với tần số tương ứng: \[ 13 \times 0,585225 = 7,607925 \] \[ 45 \times 0,070225 = 3,159125 \] \[ 24 \times 0,055225 = 1,3254 \] \[ 12 \times 0,540225 = 6,4827 \] \[ 6 \times 1,525225 = 9,15135 \] Tổng: \[ 7,607925 + 3,159125 + 1,3254 + 6,4827 + 9,15135 = 27,726475 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{27,726475}{100} = 0,27726475 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn \(s\) là căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{0,27726475} \approx 0,526 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,526 (làm tròn đến hàng phần nghìn). Đáp án đúng là: A. 0,526. Câu 12: Để tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, ta cần: - AB = AC - AB vuông góc với AC Bước 1: Tính độ dài AB và AC - Độ dài AB: \[ AB = \sqrt{(2 - 3)^2 + (1 - 1)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] - Độ dài AC: \[ AC = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + 1} \] Bước 2: Đặt điều kiện AB = AC \[ \sqrt{2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + 1} \] \[ 2 = (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + 1 \] \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1 \quad \text{(1)} \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện AB vuông góc với AC - Vector AB: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 3, 1 - 1, -1 - 0) = (-1, 0, -1) \] - Vector AC: \[ \overrightarrow{AC} = (x - 3, y - 1, -1 - 0) = (x - 3, y - 1, -1) \] - Điều kiện vuông góc: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \] \[ (-1)(x - 3) + 0(y - 1) + (-1)(-1) = 0 \] \[ -x + 3 + 1 = 0 \] \[ -x + 4 = 0 \] \[ x = 4 \] Bước 4: Thay \( x = 4 \) vào phương trình (1) \[ (4 - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1 \] \[ 1 + (y - 1)^2 = 1 \] \[ (y - 1)^2 = 0 \] \[ y - 1 = 0 \] \[ y = 1 \] Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại vì có thể có nhiều nghiệm khác. Ta thử thay \( x = 4 \) vào phương trình ban đầu: \[ (4 - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1 \] \[ 1 + (y - 1)^2 = 1 \] \[ (y - 1)^2 = 0 \] \[ y - 1 = \pm \sqrt{0} \] \[ y - 1 = \pm 1 \] \[ y = 1 + \sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad y = 1 - \sqrt{2} \] Vậy tọa độ của C là: \[ (4; 1 + \sqrt{2}; -1) \quad \text{hoặc} \quad (4; 1 - \sqrt{2}; -1) \] Đáp án đúng là: A. $(4; 1 + \sqrt{2}; -1); (4; 1 - \sqrt{2}; -1)$ Câu 1: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -1$. Điều kiện xác định của hàm số là $x + 1 \neq 0$, tức là $x \neq -1$. Do đó, đường thẳng $x = -1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Đáp án đúng. b) Đường thẳng $y = x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị (C). Ta thực hiện phép chia đa thức để tìm tiệm cận xiên: \[ \frac{x^2 - 3x + 5}{x + 1} = x - 4 + \frac{9}{x + 1} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{9}{x + 1} \to 0$, vậy tiệm cận xiên là $y = x - 4$. Đáp án sai. c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-4; -1)$ và $(-1; 2)$. Để xác định tính chất tăng giảm của hàm số, ta tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(2x - 3)(x + 1) - (x^2 - 3x + 5)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - 3x - 3 - x^2 + 3x - 5}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2} \] Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $y' = 0$: \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \implies (x + 4)(x - 2) = 0 \implies x = -4 \text{ hoặc } x = 2 \] Phân tích dấu của $y'$: - Khi $x < -4$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến) - Khi $-4 < x < -1$, $y' < 0$ (hàm số nghịch biến) - Khi $-1 < x < 2$, $y' < 0$ (hàm số nghịch biến) - Khi $x > 2$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến) Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-4; -1)$ và $(-1; 2)$. Đáp án đúng. d) Đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $y = 2x + 3$. Tìm tọa độ điểm cực đại và cực tiểu: - Điểm cực đại tại $x = -4$: $y = \frac{(-4)^2 - 3(-4) + 5}{-4 + 1} = \frac{16 + 12 + 5}{-3} = -11$ - Điểm cực tiểu tại $x = 2$: $y = \frac{2^2 - 3(2) + 5}{2 + 1} = \frac{4 - 6 + 5}{3} = 1$ Đường thẳng đi qua hai điểm $(-4, -11)$ và $(2, 1)$: \[ y - (-11) = \frac{1 - (-11)}{2 - (-4)}(x - (-4)) \implies y + 11 = \frac{12}{6}(x + 4) \implies y + 11 = 2(x + 4) \implies y = 2x - 3 \] Đáp án sai. Kết luận: Đáp án đúng là a) và c). Câu 2: a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] \[ G\left(\frac{1 - 2 + 3}{3}, \frac{-1 + 5 + 4}{3}, \frac{0 + 3 + 9}{3}\right) \] \[ G\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, 4\right) \] b) Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \] \[ \overrightarrow{AB} = (-2 - 1, 5 + 1, 3 - 0) \] \[ \overrightarrow{AB} = (-3, 6, 3) \] c) Kiểm tra xem tứ giác ABCD có phải là hình bình hành: - Ta kiểm tra điều kiện $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$: \[ \overrightarrow{DC} = (x_C - x_D, y_C - y_D, z_C - z_D) \] \[ \overrightarrow{DC} = (3 - 6, 4 + 2, 9 - 6) \] \[ \overrightarrow{DC} = (-3, 6, 3) \] Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ nên tứ giác ABCD là hình bình hành. d) Tìm tọa độ điểm M trên đoạn AB sao cho MA = 2MB: - Ta có $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$, tức là $\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = 2(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM})$. - Biểu diễn $\overrightarrow{OM}$ qua $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$: \[ \overrightarrow{OM} = \frac{2\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}}{3} \] \[ \overrightarrow{OM} = \frac{2(-2, 5, 3) + (1, -1, 0)}{3} \] \[ \overrightarrow{OM} = \frac{(-4, 10, 6) + (1, -1, 0)}{3} \] \[ \overrightarrow{OM} = \frac{(-3, 9, 6)}{3} \] \[ \overrightarrow{OM} = (-1, 3, 2) \] Vậy tọa độ của điểm M là $M(-1, 3, 2)$. - Kiểm tra điều kiện $a + b + c = 6$: \[ a + b + c = -1 + 3 + 2 = 4 \] Đáp án: a) $G\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, 4\right)$ b) $\overrightarrow{AB} = (-3, 6, 3)$ c) Tứ giác ABCD là hình bình hành. d) $a + b + c = 4$. Câu 3: a) Độ dài vectơ $\overrightarrow{SA}$ là $30\sqrt3.$ Ta có: $\overrightarrow{SA} = (30 - 0, 0 - 0, 0 - 30) = (30, 0, -30)$ Do đó: $|\overrightarrow{SA}| = \sqrt{30^2 + 0^2 + (-30)^2} = \sqrt{900 + 0 + 900} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2}$ Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow{SA}$ là $30\sqrt{2}$, không phải $30\sqrt{3}$. b) Hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. Để chứng minh hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, ta cần kiểm tra các điều kiện sau: - Các đáy ABCD là hình vuông vì các cạnh AB, BC, CD, DA đều bằng nhau và các góc đều là 90°. - Các cạnh SA, SB, SC, SD đều bằng nhau. Ta đã biết rằng các đỉnh A, B, C, D nằm trên cùng một mặt phẳng và tạo thành một hình vuông. Ta cũng đã tính được độ dài $\overrightarrow{SA} = 30\sqrt{2}$. Tương tự, ta có thể tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{SB}$, $\overrightarrow{SC}$, $\overrightarrow{SD}$ và thấy rằng chúng đều bằng $30\sqrt{2}$. Do đó, hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. c) Hình chóp S.A'B'C'D' là hình chóp tứ giác đều. Biết $A^\prime;B^\prime;C^\prime;D^\prime$ lần lượt là điểm cuối của các vectơ lực $\overrightarrow F_1,\overrightarrow F_2,\overrightarrow F_3,\overrightarrow F_4$. Vì các lực $\overrightarrow F_1, \overrightarrow F_2, \overrightarrow F_3, \overrightarrow F_4$ có độ lớn bằng nhau và được phân bố đều, các điểm $A', B', C', D'$ sẽ nằm trên cùng một mặt phẳng và tạo thành một hình vuông. Các cạnh SA', SB', SC', SD' cũng sẽ bằng nhau. Do đó, hình chóp S.A'B'C'D' cũng là hình chóp tứ giác đều. d) Biết $\overrightarrow F_1=(a;b;c)$ khi đó: $a+b-c=20.$ Trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn 80 N và được phân bố thành bốn lực có độ lớn bằng nhau. Do đó, mỗi lực có độ lớn là: $\frac{80}{4} = 20$ N Vì $\overrightarrow F_1 = (a, b, c)$ và độ lớn của nó là 20 N, ta có: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 20$ Tuy nhiên, để tìm giá trị cụ thể của $a$, $b$, và $c$, ta cần thêm thông tin về hướng của các lực này. Giả sử các lực này được phân bố đều theo ba chiều, ta có thể giả sử rằng $a = b = c$. Do đó: $a + b - c = a + a - a = a = 20$ Vậy $a = 20$, $b = 20$, và $c = 20$. Tóm lại: a) Độ dài vectơ $\overrightarrow{SA}$ là $30\sqrt{2}$. b) Hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. c) Hình chóp S.A'B'C'D' là hình chóp tứ giác đều. d) $a + b - c = 20$.