itxitxittxitx

Câu 1. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta cần xác định tọa độ của điểm A và điểm B trong hệ tọa độ Oxyz. Từ hình vẽ, ta thấy: - Điểm A có tọa độ là $(0, 0, 0)$. - Điểm B có tọa độ là $(3, 4, 5)$. Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ sẽ là: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 0, 4 - 0, 5 - 0) = (3, 4, 5) \] Vậy, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(3, 4, 5)$. Tiếp theo, ta tính $a + b$: \[ a + b = 3 + 4 = 7 \] Đáp số: $a + b = 7$. Câu 2. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm A và B trong hệ tọa độ Oxyz đã cho. - Điểm A cách vị trí điều khiển 150m về phía nam và 200m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 50m. Do đó, tọa độ của điểm A là: \[ A(150, 200, 50) \] - Điểm B cách vị trí người điều khiển 10m về phía bắc và 40m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 60m. Do đó, tọa độ của điểm B là: \[ B(-10, -40, 60) \] Bây giờ, ta tính khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của điểm A và B vào công thức: \[ AB = \sqrt{((-10) - 150)^2 + ((-40) - 200)^2 + (60 - 50)^2} \] \[ AB = \sqrt{(-160)^2 + (-240)^2 + (10)^2} \] \[ AB = \sqrt{25600 + 57600 + 100} \] \[ AB = \sqrt{83300} \] \[ AB \approx 288.62 \] Vậy khoảng cách giữa hai flycam là khoảng 289 mét (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 289 mét. Câu 3. Để tìm khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng phụ nữ trong khu vực A. 2. Xác định vị trí của tử phân vị trong dãy số. 3. Tìm khoảng chứa tử phân vị. Bước 1: Tính tổng số lượng phụ nữ trong khu vực A Tổng số phụ nữ trong khu vực A là: \[ 10 + 27 + 31 + 25 + 7 = 100 \] Bước 2: Xác định vị trí của tử phân vị trong dãy số Tử phân vị là giá trị chia dãy số thành 4 phần bằng nhau. Vì vậy, chúng ta sẽ tìm giá trị ở vị trí thứ 25 (vì 100 : 4 = 25). Bước 3: Tìm khoảng chứa tử phân vị - Nhóm [19; 22) có 10 phụ nữ. - Nhóm [22; 25) có 27 phụ nữ. Vị trí thứ 25 nằm trong khoảng từ 10 đến 37 (10 + 27), do đó tử phân vị nằm trong nhóm [22; 25). Vậy khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là [22; 25). Đáp số: [22; 25) Câu 4. Để tính dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020, chúng ta cần tìm giá trị của \( P(t) \) tại \( t = 5 \) (vì từ đầu năm 2015 đến đầu năm 2020 là 5 năm). Trước tiên, ta cần tìm hàm \( P(t) \) từ đạo hàm \( P'(t) \). Ta có: \[ P'(t) = 20 \cdot (1,106)^t \] Ta thực hiện tích phân để tìm \( P(t) \): \[ P(t) = \int 20 \cdot (1,106)^t \, dt \] Sử dụng công thức tích phân của hàm mũ \( \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \), ta có: \[ P(t) = 20 \cdot \frac{(1,106)^t}{\ln(1,106)} + C \] Biết rằng \( P(0) = 1008 \) (dân số đầu năm 2015), ta thay vào để tìm hằng số \( C \): \[ 1008 = 20 \cdot \frac{(1,106)^0}{\ln(1,106)} + C \] \[ 1008 = 20 \cdot \frac{1}{\ln(1,106)} + C \] \[ C = 1008 - 20 \cdot \frac{1}{\ln(1,106)} \] Bây giờ, ta tính \( P(5) \): \[ P(5) = 20 \cdot \frac{(1,106)^5}{\ln(1,106)} + \left( 1008 - 20 \cdot \frac{1}{\ln(1,106)} \right) \] Tính \( (1,106)^5 \): \[ (1,106)^5 \approx 1,6105 \] Tính \( \ln(1,106) \): \[ \ln(1,106) \approx 0,1009 \] Thay vào: \[ P(5) = 20 \cdot \frac{1,6105}{0,1009} + \left( 1008 - 20 \cdot \frac{1}{0,1009} \right) \] \[ P(5) = 20 \cdot 15,96 + \left( 1008 - 20 \cdot 9,91 \right) \] \[ P(5) = 319,2 + \left( 1008 - 198,2 \right) \] \[ P(5) = 319,2 + 809,8 \] \[ P(5) = 1129 \] Vậy dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 là 1129 nghìn người. Câu 5. Để tìm được tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ và tích vô hướng của $\overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các vectơ từ điểm đặt E đến các điểm tiếp xúc A1, A2, A3 - Vectơ $\overrightarrow{EA_1}$: \[ \overrightarrow{EA_1} = (0 - 0, 1 - 0, 0 - 5) = (0, 1, -5) \] - Vectơ $\overrightarrow{EA_2}$: \[ \overrightarrow{EA_2} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, -\frac{1}{2} - 0, 0 - 5\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -5\right) \] - Vectơ $\overrightarrow{EA_3}$: \[ \overrightarrow{EA_3} = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, -\frac{1}{2} - 0, 0 - 5\right) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -5\right) \] Bước 2: Xác định các vectơ lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ Các lực này phải cùng hướng với các vectơ từ điểm đặt E đến các điểm tiếp xúc A1, A2, A3 và tổng của chúng phải bằng trọng lượng của máy (300 N). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{F_1} = k_1 \overrightarrow{EA_1} \] \[ \overrightarrow{F_2} = k_2 \overrightarrow{EA_2} \] \[ \overrightarrow{F_3} = k_3 \overrightarrow{EA_3} \] Tổng các lực này phải bằng trọng lượng của máy: \[ \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = 300 \hat{j} \] Bước 3: Tính các hệ số $k_1, k_2, k_3$ Ta có: \[ k_1 (0, 1, -5) + k_2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -5\right) + k_3 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -5\right) = (0, 300, 0) \] Phân tích theo từng thành phần: - Thành phần x: \[ k_2 \frac{\sqrt{3}}{2} - k_3 \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies k_2 = k_3 \] - Thành phần y: \[ k_1 - \frac{k_2}{2} - \frac{k_3}{2} = 300 \implies k_1 - k_2 = 300 \] - Thành phần z: \[ -5k_1 - 5k_2 - 5k_3 = 0 \implies k_1 + k_2 + k_3 = 0 \] Giải hệ phương trình: \[ k_1 - k_2 = 300 \] \[ k_1 + k_2 + k_2 = 0 \implies k_1 + 2k_2 = 0 \implies k_1 = -2k_2 \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ -2k_2 - k_2 = 300 \implies -3k_2 = 300 \implies k_2 = -100 \] \[ k_1 = -2(-100) = 200 \] \[ k_3 = k_2 = -100 \] Bước 4: Xác định các vectơ lực \[ \overrightarrow{F_1} = 200 (0, 1, -5) = (0, 200, -1000) \] \[ \overrightarrow{F_2} = -100 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -5\right) = \left(-50\sqrt{3}, 50, 500\right) \] \[ \overrightarrow{F_3} = -100 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -5\right) = \left(50\sqrt{3}, 50, 500\right) \] Bước 5: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2}$ \[ \overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2} = (0, 200, -1000) \cdot \left(-50\sqrt{3}, 50, 500\right) \] \[ = 0 \times (-50\sqrt{3}) + 200 \times 50 + (-1000) \times 500 \] \[ = 0 + 10000 - 500000 \] \[ = -490000 \] Vậy, tích vô hướng của $\overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2}$ là $-490000$.