giải s v mn oi

Câu 5: Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số trên các khoảng đã cho, ta dựa vào đồ thị của hàm số. - Trên khoảng $(-3; -1)$, đồ thị hàm số giảm dần, tức là hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(-1; 2)$, đồ thị hàm số tăng dần, tức là hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(2; 3)$, đồ thị hàm số giảm dần, tức là hàm số nghịch biến. Do đó: - Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 2)$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3; -1)$ và $(2; 3)$. Ta kiểm tra từng mệnh đề: A. Hàm số đồng biến trên $(-1; 2)$: Đúng. B. Hàm số nghịch biến trên $(-3; 2)$: Sai vì trên khoảng $(-1; 2)$ hàm số đồng biến. C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 3)$: Sai vì trên khoảng $(2; 3)$ hàm số nghịch biến. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3; 3)$: Sai vì trên khoảng $(-1; 2)$ hàm số đồng biến. Vậy mệnh đề đúng là: A. Hàm số đồng biến trên $(-1; 2)$. Đáp án: A. Câu 6: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = x^3 + 3x \), ta cần tính đạo hàm của hàm số này và tìm các khoảng mà đạo hàm dương. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y = x^3 + 3x \). \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x) = 3x^2 + 3 \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm \( y' \). \[ y' = 3x^2 + 3 \] Ta thấy rằng \( 3x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Do đó, \( 3x^2 + 3 > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Bước 3: Kết luận khoảng đồng biến của hàm số. Vì đạo hàm \( y' = 3x^2 + 3 > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), hàm số \( y = x^3 + 3x \) đồng biến trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Do đó, đáp án đúng là: C. R. Câu 7: Để xác định tính đơn điệu của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \), ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \). Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó, \( u = 2x + 1 \) và \( v = x + 1 \). Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = 2 \] \[ v' = 1 \] Thay vào công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(2)(x + 1) - (2x + 1)(1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x + 2 - 2x - 1}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{1}{(x + 1)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm \( y' \). Ta thấy rằng \( y' = \frac{1}{(x + 1)^2} \). Biểu thức \( (x + 1)^2 \) luôn dương với mọi \( x \neq -1 \). Do đó, \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq -1 \). Bước 3: Kết luận tính đơn điệu của hàm số. Vì đạo hàm \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq -1 \), nên hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) luôn luôn đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (-1, +\infty) \). Do đó, đáp án đúng là: D. Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (-1, +\infty) \). Câu 8: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần tìm các khoảng mà đạo hàm \( f'(x) \) dương. Ta có: \[ f'(x) = (x + 1)^2 (x - 1)^3 (2 - x) \] Đầu tiên, ta tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: \[ (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1 \] \[ (x - 1)^3 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ (2 - x) = 0 \Rightarrow x = 2 \] Như vậy, các điểm mà đạo hàm bằng 0 là \( x = -1 \), \( x = 1 \), và \( x = 2 \). Tiếp theo, ta xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên các khoảng được xác định bởi các điểm này: - Khoảng \( (-\infty, -1) \) - Khoảng \( (-1, 1) \) - Khoảng \( (1, 2) \) - Khoảng \( (2, +\infty) \) Chọn các giá trị đại diện trong mỗi khoảng để kiểm tra dấu của đạo hàm: 1. Khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2 + 1)^2 (-2 - 1)^3 (2 - (-2)) = (-1)^2 (-3)^3 (4) = 1 \cdot (-27) \cdot 4 = -108 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -1) \). 2. Khoảng \( (-1, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = (0 + 1)^2 (0 - 1)^3 (2 - 0) = 1^2 (-1)^3 (2) = 1 \cdot (-1) \cdot 2 = -2 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-1, 1) \). 3. Khoảng \( (1, 2) \): Chọn \( x = 1.5 \): \[ f'(1.5) = (1.5 + 1)^2 (1.5 - 1)^3 (2 - 1.5) = (2.5)^2 (0.5)^3 (0.5) = 6.25 \cdot 0.125 \cdot 0.5 = 0.390625 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (1, 2) \). 4. Khoảng \( (2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f'(3) = (3 + 1)^2 (3 - 1)^3 (2 - 3) = 4^2 \cdot 2^3 \cdot (-1) = 16 \cdot 8 \cdot (-1) = -128 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (2, +\infty) \). Từ đó, ta thấy rằng đạo hàm \( f'(x) \) dương trên khoảng \( (1, 2) \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (1, 2) \). Vậy đáp án đúng là: \[ A.~(1;2) \] Câu 9. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần dựa vào đồ thị của đạo hàm \( y = f'(x) \). Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng mà đạo hàm \( f'(x) > 0 \). Trên đồ thị của \( y = f'(x) \): - Từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \), đồ thị nằm phía trên trục hoành, tức là \( f'(x) > 0 \). - Từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \), đồ thị nằm phía dưới trục hoành, tức là \( f'(x) < 0 \). - Từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \), đồ thị nằm phía trên trục hoành, tức là \( f'(x) > 0 \). - Từ \( x = 2 \) trở đi, đồ thị nằm phía dưới trục hoành, tức là \( f'(x) < 0 \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng: - \( (-1; 0) \) - \( (1; 2) \) Như vậy, trong các đáp án đã cho, khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) \) là: - \( A.~(-1;0) \) - \( B.~(1;2) \) Đáp án đúng là: \( A.~(-1;0) \) và \( B.~(1;2) \).