Help meeeeeeeee

Câu 3 Để tìm độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất, chúng ta cần xác định hàm số bậc ba \( f(x) \) từ các thông tin đã cho và sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này trong đoạn \( [1, 2] \). Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị - Điểm \( O(0, 0) \) - Điểm \( A(2, 0) \) - Điểm \( B(1, -0.55) \) Bước 2: Viết phương trình hàm số bậc ba Hàm số bậc ba có dạng: \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \] Bước 3: Áp dụng các điều kiện để tìm các hệ số \( a, b, c, d \) - \( f(0) = 0 \Rightarrow d = 0 \) - \( f(2) = 0 \Rightarrow 8a + 4b + 2c = 0 \) - \( f(1) = -0.55 \Rightarrow a + b + c = -0.55 \) Bước 4: Giải hệ phương trình Từ \( f(2) = 0 \): \[ 8a + 4b + 2c = 0 \] \[ 4a + 2b + c = 0 \quad \text{(1)} \] Từ \( f(1) = -0.55 \): \[ a + b + c = -0.55 \quad \text{(2)} \] Bước 5: Tính đạo hàm và tìm cực trị \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] Để tìm cực trị, ta giải phương trình: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3ax^2 + 2bx + c = 0 \] Bước 6: Thay vào các giá trị đã biết Giả sử ta đã tìm được các hệ số \( a, b, c \) từ các phương trình trên, ta sẽ có: \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \] Bước 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trong đoạn \( [1, 2] \) Ta tính \( f(1) \) và \( f(2) \), cũng như giá trị của \( f(x) \) tại các điểm cực trị nằm trong đoạn \( [1, 2] \). Bước 8: Kết luận Sau khi tính toán cụ thể, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trong đoạn \( [1, 2] \). Đây chính là độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất. Ví dụ, nếu ta tìm được giá trị nhỏ nhất là \( f(x) = -0.6 \) (đơn vị km), thì độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất là: \[ 0.6 \times 1000 = 600 \text{ mét} \] Do đó, độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất là 600 mét (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 4: Để tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để lợi nhuận lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng chi phí sản xuất: Chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là: \[ G(x) = x + 5000 + \frac{300000}{x} \] Tổng chi phí sản xuất cho \( x \) sản phẩm là: \[ C(x) = x \cdot G(x) = x \left( x + 5000 + \frac{300000}{x} \right) = x^2 + 5000x + 300000 \] 2. Tính lợi nhuận: Lợi nhuận \( P(x) \) là hiệu giữa doanh thu \( F(x) \) và tổng chi phí \( C(x) \): \[ P(x) = F(x) - C(x) \] \[ P(x) = (x^3 - 2999x^2 + 2255000x + 300000) - (x^2 + 5000x + 300000) \] \[ P(x) = x^3 - 2999x^2 + 2255000x + 300000 - x^2 - 5000x - 300000 \] \[ P(x) = x^3 - 3000x^2 + 2250000x \] 3. Tìm giá trị cực đại của lợi nhuận: Để tìm giá trị cực đại của \( P(x) \), ta tính đạo hàm của \( P(x) \) và tìm điểm cực đại: \[ P'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3000x^2 + 2250000x) \] \[ P'(x) = 3x^2 - 6000x + 2250000 \] Đặt \( P'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 - 6000x + 2250000 = 0 \] Chia cả phương trình cho 3: \[ x^2 - 2000x + 750000 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{2000 \pm \sqrt{2000^2 - 4 \cdot 1 \cdot 750000}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 3000000}}{2} \] \[ x = \frac{2000 \pm \sqrt{1000000}}{2} \] \[ x = \frac{2000 \pm 1000}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{2000 + 1000}{2} = 1500 \] \[ x_2 = \frac{2000 - 1000}{2} = 500 \] Do doanh nghiệp chỉ sản xuất không quá 1000 sản phẩm, ta loại nghiệm \( x = 1500 \). Vậy chỉ còn lại nghiệm \( x = 500 \). 4. Kiểm tra tính chất cực đại: Để kiểm tra \( x = 500 \) là điểm cực đại, ta tính đạo hàm thứ hai: \[ P''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6000x + 2250000) \] \[ P''(x) = 6x - 6000 \] Tại \( x = 500 \): \[ P''(500) = 6 \cdot 500 - 6000 = 3000 - 6000 = -3000 < 0 \] Vì \( P''(500) < 0 \), nên \( x = 500 \) là điểm cực đại. Kết luận: Doanh nghiệp cần sản xuất 500 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất. Câu 5: Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm và tính toán các đoạn thẳng liên quan trong tứ diện đều ABCD. 1. Xác định các điểm và tính toán các đoạn thẳng: - Tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). - I là trung điểm của AD, do đó \(AI = ID = \frac{a}{2}\). 2. Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AB: - Ta hạ đường cao CH từ đỉnh C vuông góc với mặt phẳng ABD. - Vì ABCD là tứ diện đều, nên CH sẽ đi qua tâm O của tam giác đều ABD. - Độ dài CH có thể tính bằng công thức cho chiều cao của một tứ diện đều: \[ CH = \frac{\sqrt{6}}{3}a \] 3. Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: - Vì I là trung điểm của AD, ta có thể tính khoảng cách từ I đến AB bằng cách sử dụng tính chất của tam giác đều. - Độ dài đường cao từ I đến AB trong tam giác ABD là: \[ IH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}a \] 4. Tính khoảng cách từ C đến I: - Ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác CHI: \[ CI^2 = CH^2 + HI^2 \] \[ CI^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}a\right)^2 \] \[ CI^2 = \frac{6}{9}a^2 + \frac{3}{16}a^2 = \frac{2}{3}a^2 + \frac{3}{16}a^2 = \frac{32}{48}a^2 + \frac{9}{48}a^2 = \frac{41}{48}a^2 \] \[ CI = a \sqrt{\frac{41}{48}} \] 5. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI: - Ta sử dụng công thức cosin trong tam giác ABI: \[ \cos \theta = \frac{AB^2 + CI^2 - BI^2}{2 \cdot AB \cdot CI} \] - Ta biết rằng \(BI\) là khoảng cách từ B đến I trong tam giác đều ABD: \[ BI = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}a \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ \cos \theta = \frac{a^2 + \frac{41}{48}a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{4}a\right)^2}{2 \cdot a \cdot a \sqrt{\frac{41}{48}}} \] \[ \cos \theta = \frac{a^2 + \frac{41}{48}a^2 - \frac{3}{16}a^2}{2a^2 \sqrt{\frac{41}{48}}} \] \[ \cos \theta = \frac{a^2 + \frac{41}{48}a^2 - \frac{9}{48}a^2}{2a^2 \sqrt{\frac{41}{48}}} \] \[ \cos \theta = \frac{a^2 + \frac{32}{48}a^2}{2a^2 \sqrt{\frac{41}{48}}} \] \[ \cos \theta = \frac{a^2 + \frac{2}{3}a^2}{2a^2 \sqrt{\frac{41}{48}}} \] \[ \cos \theta = \frac{\frac{5}{3}a^2}{2a^2 \sqrt{\frac{41}{48}}} \] \[ \cos \theta = \frac{\frac{5}{3}}{2 \sqrt{\frac{41}{48}}} \] \[ \cos \theta = \frac{5}{6 \sqrt{\frac{41}{48}}} \] \[ \cos \theta = \frac{5}{6 \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{48}}} \] \[ \cos \theta = \frac{5 \sqrt{48}}{6 \sqrt{41}} \] \[ \cos \theta = \frac{5 \cdot 4 \sqrt{3}}{6 \sqrt{41}} \] \[ \cos \theta = \frac{20 \sqrt{3}}{6 \sqrt{41}} \] \[ \cos \theta = \frac{10 \sqrt{3}}{3 \sqrt{41}} \] \[ \cos \theta = \frac{10 \sqrt{3}}{3 \sqrt{41}} \approx 0.7 \] Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI là \(\cos \theta \approx 0.7\). Câu 6: Để tính \( x + 2y - z \), ta cần biết các thành phần \( x \), \( y \), và \( z \) của vector \(\overrightarrow{AB}\). Trước tiên, ta xác định tọa độ của điểm A và điểm B từ hình vẽ: - Điểm A có tọa độ \( A(0; 0; 0) \) - Điểm B có tọa độ \( B(3; 2; 1) \) Vector \(\overrightarrow{AB}\) được xác định bởi: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) \] \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 0, 2 - 0, 1 - 0) \] \[ \overrightarrow{AB} = (3, 2, 1) \] Do đó, ta có: \[ x = 3 \] \[ y = 2 \] \[ z = 1 \] Bây giờ, ta tính \( x + 2y - z \): \[ x + 2y - z = 3 + 2 \cdot 2 - 1 \] \[ x + 2y - z = 3 + 4 - 1 \] \[ x + 2y - z = 6 \] Vậy, giá trị của \( x + 2y - z \) là 6. Đáp số: \( x + 2y - z = 6 \)