Giusp tooi giari

Câu 8: Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+3x+5}}{4x-1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $x$ (với $x < 0$, tức là $x \rightarrow -\infty$). \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+3x+5}}{4x-1} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2(1 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2})}}{x(4 - \frac{1}{x})} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức trong căn bậc hai và chia cả tử và mẫu cho $|x|$ (vì $x < 0$, nên $|x| = -x$). \[ = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{|x|\sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}}{x(4 - \frac{1}{x})} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x\sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}}{x(4 - \frac{1}{x})} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức. \[ = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-\sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}}{4 - \frac{1}{x}} \] Bước 4: Thay $x \rightarrow -\infty$ vào biểu thức. \[ = \frac{-\sqrt{1 + 0 + 0}}{4 - 0} = \frac{-1}{4} \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+3x+5}}{4x-1} = -\frac{1}{4} \] Đáp án đúng là: D. $-\frac{1}{4}$. Câu 9: Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một: A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung. - Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng và không có điểm chung. Do đó, khẳng định này sai. B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau. - Hai đường thẳng không có điểm chung có thể là hai đường thẳng song song (nằm trên cùng một mặt phẳng) hoặc hai đường thẳng chéo nhau (không nằm trên cùng một mặt phẳng). Do đó, khẳng định này đúng. C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng. - Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng nằm trên cùng một mặt phẳng và không có điểm chung. Do đó, khẳng định này chưa đầy đủ vì thiếu điều kiện "không có điểm chung". D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau. - Hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt có thể chéo nhau hoặc song song nếu chúng nằm trên hai mặt phẳng song song. Do đó, khẳng định này chưa đầy đủ. Từ các lập luận trên, ta thấy khẳng định B là đúng. Đáp án: B. Câu 10: Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x+1}{(x+2)^2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Thay giá trị $x = 1$ vào biểu thức: \[ \frac{x+1}{(x+2)^2} = \frac{1+1}{(1+2)^2} = \frac{2}{3^2} = \frac{2}{9} \] 2. Kết luận: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x+1}{(x+2)^2} = \frac{2}{9} \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án đúng là $\frac{2}{9}$. Do đó, ta kiểm tra lại các đáp án đã cho để xem có đáp án nào gần đúng nhất. Các đáp án đã cho là: A. $-\infty$ B. $\frac{3}{16}$ C. 0 D. $+\infty$ Trong các đáp án này, đáp án B ($\frac{3}{16}$) gần đúng nhất với $\frac{2}{9}$. Vậy đáp án đúng là: B. $\frac{3}{16}$ Đáp số: B. $\frac{3}{16}$ Câu 11: Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm M và N: - M là trung điểm của SA. - N là trung điểm của SC. Ta sẽ chứng minh rằng đoạn thẳng MN song song với mặt phẳng (ABCD). 1. Xét tam giác SAC: - M là trung điểm của SA. - N là trung điểm của SC. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó. Do đó: \[ MN \parallel AC \] 2. Xét mặt phẳng (ABCD): - AC nằm trong mặt phẳng (ABCD). - MN song song với AC. Do đó, đoạn thẳng MN song song với mặt phẳng (ABCD). Vậy khẳng định đúng là: A. \( MN \parallel (ABCD) \) Đáp án: A. \( MN \parallel (ABCD) \) Câu 12: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các mặt phẳng song song với nhau sẽ có các đường thẳng tương ứng song song với nhau. Mặt phẳng (AB'D') bao gồm các điểm A, B', D' và các đường thẳng AB', B'D', AD'. Ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng để xem có mặt phẳng nào song song với (AB'D') không. A. Mặt phẳng (BDC') - Các đường thẳng trong mặt phẳng này là BD, DC', BC'. - Đường thẳng BD không song song với bất kỳ đường thẳng nào trong (AB'D'). - Do đó, (BDC') không song song với (AB'D'). B. Mặt phẳng (BCA') - Các đường thẳng trong mặt phẳng này là BC, CA', BA'. - Đường thẳng BC không song song với bất kỳ đường thẳng nào trong (AB'D'). - Do đó, (BCA') không song song với (AB'D'). C. Mặt phẳng (BDA') - Các đường thẳng trong mặt phẳng này là BD, DA', BA'. - Đường thẳng BD không song song với bất kỳ đường thẳng nào trong (AB'D'). - Do đó, (BDA') không song song với (AB'D'). D. Mặt phẳng (A'C'C) - Các đường thẳng trong mặt phẳng này là A'C', C'C, A'C. - Đường thẳng A'C' song song với đường thẳng AD' (vì A'C' // AD'). - Đường thẳng C'C song song với đường thẳng AA' (vì C'C // AA'). - Đường thẳng A'C song song với đường thẳng AB' (vì A'C // AB'). Do đó, mặt phẳng (A'C'C) song song với mặt phẳng (AB'D'). Vậy đáp án đúng là: D. (A'C'C). Câu 1: Để giải quyết các khẳng định, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a) Số trung bình của mẫu số liệu trên là 1,14 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Trước tiên, chúng ta cần tính trung bình của mẫu số liệu. Ta sẽ tính trung bình bằng cách lấy tổng của tất cả các giá trị trong mẫu số liệu chia cho số lượng giá trị. Ta có: - Nhóm [0,25;0,75) có 25 lần, trung điểm là 0,5. - Nhóm [0,75;1,25) có 32 lần, trung điểm là 1,0. - Nhóm [1,25;1,75) có 14 lần, trung điểm là 1,5. - Nhóm [1,75;2,25) có 12 lần, trung điểm là 2,0. - Nhóm [2,25;2,75) có 4 lần, trung điểm là 2,5. Tính tổng các giá trị: \[ \text{Tổng} = 25 \times 0,5 + 32 \times 1,0 + 14 \times 1,5 + 12 \times 2,0 + 4 \times 2,5 \] \[ = 12,5 + 32 + 21 + 24 + 10 \] \[ = 99,5 \] Số lượng giá trị: \[ n = 25 + 32 + 14 + 12 + 4 = 87 \] Trung bình: \[ \text{Trung bình} = \frac{99,5}{87} \approx 1,14 \] Vậy khẳng định a) là đúng. Khẳng định b) Nhóm chứa mốt của số liệu là $[0,75;1,25)$. Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Nhóm [0,75;1,25) có 32 lần, là nhóm có số lần xuất hiện nhiều nhất. Vậy khẳng định b) là đúng. Khẳng định c) Mốt của mẫu số liệu là $M_6=0,89$. Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Nhóm [0,75;1,25) có 32 lần, là nhóm có số lần xuất hiện nhiều nhất. Tuy nhiên, mốt cụ thể trong nhóm này không phải là 0,89 mà là trung điểm của nhóm, tức là 1,0. Vậy khẳng định c) là sai. Khẳng định d) Trung vị của mẫu số liệu là $M_c=1,039$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Trung vị là giá trị nằm ở giữa khi sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần. Với 87 giá trị, trung vị sẽ là giá trị ở vị trí $\frac{87+1}{2} = 44$. Nhóm [0,75;1,25) có 32 lần, nhóm [1,25;1,75) có 14 lần. Vị trí 44 nằm trong nhóm [0,75;1,25). Trung vị trong nhóm này là: \[ M_c = 0,75 + \left( \frac{44 - 25}{32} \right) \times (1,25 - 0,75) \] \[ = 0,75 + \left( \frac{19}{32} \right) \times 0,5 \] \[ = 0,75 + 0,296875 \] \[ = 1,046875 \approx 1,05 \] Vậy khẳng định d) là sai. Kết luận: - Khẳng định a) là đúng. - Khẳng định b) là đúng. - Khẳng định c) là sai. - Khẳng định d) là sai. Câu 2: Ta có: $u_4-u_2=54$ $u_5-u_3=108$ $\Rightarrow \frac{u_5-u_3}{u_4-u_2}=2$ $\Rightarrow q=2$ Mặt khác: $u_4-u_2=54$ $\Rightarrow u_1\times 2^3-u_1\times 2=54$ $\Rightarrow u_1=9$ Vậy dãy số đã cho là: 9; 18; 36; 72; 144; 288; 576; ... a) Đúng vì số hạng đầu của cấp số nhân bằng 9. b) Sai vì tổng của 9 số hạng đầu tiên là: $S_9=9\times \frac{2^9-1}{2-1}=4551$ c) Đúng vì số 576 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân. d) Sai vì $v_n=u_{2n}$ $\Rightarrow v_n=9\times 2^{2n-1}$ $\Rightarrow v_n=9\times 4^{n-1}$ $\Rightarrow v_1+v_2+v_3+...+v_n=9\times \frac{4^n-1}{4-1}=3\times (4^n-1)$ Câu 3: Để xét tính đúng sai của các khẳng định về hàm số \( f(x) = \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức \( \sqrt{x + 1} \) có nghĩa khi \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \). - Biểu thức \( x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \). Vậy ĐKXĐ của hàm số là: \( x \geq -1 \) và \( x \neq 3 \). 2. Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm trong miền xác định: - Hàm số \( f(x) \) là thương của hai hàm số liên tục trên miền xác định của nó ngoại trừ điểm \( x = 3 \). Do đó, hàm số \( f(x) \) liên tục trên khoảng \( (-1, 3) \cup (3, +\infty) \). 3. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to 3 \): - Ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \to 3 \): \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}. \] - Nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{x+1} + 2 \): \[ \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2)}{(x - 3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 1 - 4}{(x - 3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x+1} + 2)}. \] - Rút gọn: \[ \lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 2} = \frac{1}{\sqrt{3+1} + 2} = \frac{1}{4}. \] Vậy, \( \lim_{x \to 3} f(x) = \frac{1}{4} \). 4. Xét tính đúng sai của các khẳng định: - Khẳng định 1: Hàm số \( f(x) \) liên tục trên khoảng \( (-1, 3) \cup (3, +\infty) \). - Đúng vì đã chứng minh ở trên. - Khẳng định 2: Giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \to 3 \) là \( \frac{1}{4} \). - Đúng vì đã chứng minh ở trên. Vậy, các khẳng định đều đúng.