Câu 3 nhé.

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( P = x^2 + y^2 \) với điều kiện \( x + y = 1 \). Bước 1: Biểu diễn \( y \) theo \( x \): \[ y = 1 - x \] Bước 2: Thay \( y = 1 - x \) vào biểu thức \( P \): \[ P = x^2 + (1 - x)^2 \] \[ P = x^2 + 1 - 2x + x^2 \] \[ P = 2x^2 - 2x + 1 \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \). Ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương: \[ P = 2x^2 - 2x + 1 \] \[ P = 2(x^2 - x) + 1 \] \[ P = 2\left(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + 1 \] \[ P = 2\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right) + 1 \] \[ P = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1 \] \[ P = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \] Bước 4: Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \): - Vì \( 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0 \) nên \( P \geq \frac{1}{2} \). - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( \frac{1}{2} \), đạt được khi \( x = \frac{1}{2} \). Do đó, giá trị lớn nhất của \( P \) không tồn tại vì \( P \) có thể tăng vô hạn khi \( x \) thay đổi trong khoảng \((-\infty, +\infty)\). Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( \frac{1}{2} \), đạt được khi \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = \frac{1}{2} \). - Giá trị lớn nhất của \( P \) không tồn tại. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. a) Chứng minh đường thẳng \( NG \) song song với mặt phẳng \( (SBC) \). 1. Xác định các điểm trung điểm và trọng tâm: - \( E \) là trung điểm của \( SB \), do đó \( \overrightarrow{SE} = \overrightarrow{EB} \). - \( O \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC} \). - \( G \) là trọng tâm của \( \triangle SAB \), do đó \( \overrightarrow{SG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{SE} \) và \( \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \). - \( N \) là trọng tâm của \( \triangle ABC \), do đó \( \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AO} \) và \( \overrightarrow{CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CB} \). 2. Chứng minh \( NG \parallel (SBC) \): - Xét \( \triangle SAB \) và \( \triangle ABC \), ta có: \[ \overrightarrow{NG} = \overrightarrow{SG} - \overrightarrow{SN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{SE} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AO} \] - Do \( E \) và \( O \) lần lượt là trung điểm của \( SB \) và \( AC \), ta có: \[ \overrightarrow{SE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SB}, \quad \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] - Suy ra: \[ \overrightarrow{NG} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{SB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \right) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{AC}) \] - Vì \( \overrightarrow{SB} - \overrightarrow{AC} \) là một vectơ nằm trong mặt phẳng \( (SBC) \), nên \( NG \parallel (SBC) \). b) Tính tỉ số \( \frac{SL}{SD} \). 1. Xác định các điểm giao và trung điểm: - \( M \) là trung điểm của \( SC \), do đó \( \overrightarrow{SM} = \overrightarrow{MC} \). - \( K \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{KC} \). 2. Xác định điểm \( I \): - \( I = AK \cap CD \). Do \( AD \parallel BC \) và \( K \) là trung điểm của \( BC \), \( I \) là trung điểm của \( CD \). 3. Xác định điểm \( L \): - \( L = SD \cap (AMN) \). Vì \( M \) là trung điểm của \( SC \) và \( N \) là trọng tâm của \( \triangle ABC \), \( AMN \) là mặt phẳng trung bình của hình chóp \( S.ABCD \). 4. Tính tỉ số \( \frac{SL}{SD} \): - Do \( L \) nằm trên đường thẳng \( SD \) và trong mặt phẳng trung bình \( (AMN) \), \( L \) chia \( SD \) theo tỉ lệ \( \frac{SL}{LD} = \frac{1}{2} \). - Suy ra \( \frac{SL}{SD} = \frac{1}{3} \). Vậy, tỉ số \( \frac{SL}{SD} = \frac{1}{3} \).