Tìm min, max.

Câu 1: Ta có: \[ y = \frac{\cos x + 2 \sin x + 3}{2 \cos x - \sin x + 4}. \] Nhận thấy rằng mẫu số \(2 \cos x - \sin x + 4\) luôn dương vì \(2 \cos x - \sin x\) nằm trong khoảng \([- \sqrt{5}, \sqrt{5}]\) và \(4\) luôn lớn hơn \(\sqrt{5}\). Do đó, ta có thể nhân cả tử và mẫu với \(2 \cos x - \sin x + 4\). Xét biểu thức: \[ y(2 \cos x - \sin x + 4) = \cos x + 2 \sin x + 3. \] Rearrange để thu được: \[ y(2 \cos x - \sin x + 4) - (\cos x + 2 \sin x + 3) = 0. \] Phân tích tiếp: \[ y(2 \cos x - \sin x + 4) - (\cos x + 2 \sin x + 3) = 0 \] \[ 2y \cos x - y \sin x + 4y - \cos x - 2 \sin x - 3 = 0 \] \[ (2y - 1) \cos x + (-y - 2) \sin x + 4y - 3 = 0. \] Để phương trình này có nghiệm, ta cần: \[ (2y - 1)^2 + (-y - 2)^2 \geq (4y - 3)^2. \] Giải bất phương trình trên: \[ (2y - 1)^2 + (-y - 2)^2 \geq (4y - 3)^2 \] \[ 4y^2 - 4y + 1 + y^2 + 4y + 4 \geq 16y^2 - 24y + 9 \] \[ 5y^2 + 5 \geq 16y^2 - 24y + 9 \] \[ 0 \geq 11y^2 - 24y + 4 \] \[ 11y^2 - 24y + 4 \leq 0. \] Giải phương trình bậc hai: \[ 11y^2 - 24y + 4 = 0 \] \[ y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 176}}{22} \] \[ y = \frac{24 \pm \sqrt{400}}{22} \] \[ y = \frac{24 \pm 20}{22} \] \[ y = \frac{44}{22} = 2 \quad \text{hoặc} \quad y = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}. \] Do đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \[ \max y = 2 \quad \text{và} \quad \min y = \frac{2}{11}. \] Đáp số: Giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi \( x = 0 \); Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{2}{11}\), đạt được khi \( x = \frac{3\pi}{2} \).