Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O;R) sao cho góc CAB bằng 30 độ. Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn. Từ O kẻ đường thẳng song song BC cắt tia Ax ở M. a) Chứng minh: MC là tiế...

a) Ta có góc CAB = 30 độ nên góc COB = 60 độ (góc tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn một cung). Vì OM // BC nên góc COM = góc COB = 60 độ. Mặt khác, góc OAC = 90 độ (Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A) nên tam giác OAM là tam giác vuông tại A. Do đó, góc OMA = 30 độ (tổng các góc trong tam giác bằng 180 độ). Vậy góc OMC = 90 độ (góc ngoài của tam giác OAM). Suy ra MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O;R) (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc). b) Ta có góc OMC = 90 độ (chứng minh trên) và góc OEB = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa cung). Vậy hai tam giác OMC và OEB có góc OMC = góc OEB và chung góc MOC = góc BOE nên đồng dạng theo trường hợp góc - góc. Từ đó ta có tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau, tức là $\frac{OM}{OE} = \frac{OC}{OB}$. Nhân cả hai vế với OM.OB ta được OM² = OE.OC. Mặt khác, ta có tam giác OFC và tam giác OMB có góc OFC = góc OMB (cùng bằng 90 độ) và góc COF = góc BOE (hai góc đối đỉnh) nên đồng dạng theo trường hợp góc - góc. Từ đó ta có tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau, tức là $\frac{OF}{OB} = \frac{OC}{OM}$. Nhân cả hai vế với OF.OM ta được OF² = OB.OC. Vậy ta có OM² = OF², suy ra OM = OF. Do đó, tam giác OFM là tam giác cân tại O nên góc OFM = góc OMF. Mặt khác, ta có góc OFM = góc OEB (hai góc so le trong) nên góc OMF = góc OEB. Vậy tam giác OFM và tam giác OEB có góc OMF = góc OEB và chung góc MFO = góc EBO nên đồng dạng theo trường hợp góc - góc. Từ đó ta có tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau, tức là $\frac{OF}{OE} = \frac{OM}{OB}$. Nhân cả hai vế với OF.OB ta được OF² = OE.OM. Vậy ta có MF.MO = ME.MB (vì OF = ME).