Từ điểm A bên ngoài đường trong (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB : AC với đường tròn ( O;R) (B; C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Vẽ đường kính CD của đường tròn (O; R) a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh AOC = BDC c) AD cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là E. Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O;R) cắt AO tại I. Gọi P là giao điểm của EO và BC. Chứng minh AE song song với IP.

Question

Accepted Answer

a) Ta có: $AB$ và $AC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O; R)$ nên $OB \perp AB$ và $OC \perp AC$.

Do đó, $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$.

Vậy bốn điểm $A$, $B$, $O$, $C$ cùng thuộc một đường tròn có đường kính $OA$.

b) Ta có: $CD$ là đường kính của đường tròn $(O; R)$ nên $\angle CBD = 90^\circ$.

Mặt khác, ta cũng có $\angle OBA = 90^\circ$ (vì $OB \perp AB$).

Do đó, $\angle OBA = \angle CBD$.

Vậy $\angle AOC = \angle BDC$ (cùng bù với $\angle OBC$).

c) Ta có: $E$ là giao điểm của $AD$ với đường tròn $(O; R)$ nên $OE = OD = R$.

Vì $I$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $E$ với $AO$ nên $IE \perp OE$.

Ta cần chứng minh $AE \parallel IP$.

- Xét tam giác $OAE$ và tam giác $OIP$:

+ $OE = OP$ (vì $O$ là tâm đường tròn và $P$ nằm trên đường kính $OD$).
+ $\angle OEA = \angle OPI$ (cùng bằng $90^\circ$).
+ $\angle OAE = \angle OIP$ (góc giữa tia $OA$ và $AE$ bằng góc giữa tia $OA$ và $IP$).

Vậy tam giác $OAE$ đồng dạng với tam giác $OIP$ (góc-góc).

Do đó, $\frac{OA}{OP} = \frac{AE}{IP}$.

Như vậy, $AE \parallel IP$ (theo định lý Thales).

Đáp số: $AE \parallel IP$.

Từ điểm A bên ngoài đường trong (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB : AC với đường tròn ( O;R) (B; C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Vẽ đường kính CD của đường tròn (O; R) a) Chứng minh bốn...