Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=$x^2+xy+y^2-2x-3y+\frac{6067}{3}$ Gải hộ mik với

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 + xy + y^2 - 2x - 3y + \frac{6067}{3} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \) lại với nhau để dễ dàng hoàn chỉnh bình phương. \[ A = x^2 + xy + y^2 - 2x - 3y + \frac{6067}{3} \] Bước 2: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \) lại với nhau và thêm bớt các số cần thiết để hoàn chỉnh bình phương. \[ A = (x^2 + xy + \frac{y^2}{4}) + (\frac{3y^2}{4} - 3y) - 2x + \frac{6067}{3} \] Bước 3: Ta nhận thấy rằng \( x^2 + xy + \frac{y^2}{4} \) có thể viết dưới dạng \( (x + \frac{y}{2})^2 \). \[ A = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} - 3y - 2x + \frac{6067}{3} \] Bước 4: Ta tiếp tục nhóm các hạng tử liên quan đến \( y \) lại với nhau và thêm bớt các số cần thiết để hoàn chỉnh bình phương. \[ A = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3(y^2 - 4y)}{4} - 2x + \frac{6067}{3} \] Bước 5: Ta nhận thấy rằng \( y^2 - 4y \) có thể viết dưới dạng \( (y - 2)^2 - 4 \). \[ A = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3((y - 2)^2 - 4)}{4} - 2x + \frac{6067}{3} \] \[ A = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3(y - 2)^2}{4} - 3 - 2x + \frac{6067}{3} \] Bước 6: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) lại với nhau và thêm bớt các số cần thiết để hoàn chỉnh bình phương. \[ A = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3(y - 2)^2}{4} - 2x + \frac{6064}{3} \] Bước 7: Ta nhận thấy rằng \( -2x \) có thể viết dưới dạng \( -(2x - 2) + 2 \). \[ A = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3(y - 2)^2}{4} - (2x - 2) + 2 + \frac{6064}{3} \] \[ A = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3(y - 2)^2}{4} - (2x - 2) + \frac{6064}{3} + 2 \] Bước 8: Ta nhận thấy rằng \( (2x - 2) \) có thể viết dưới dạng \( (x - 1)^2 - 1 \). \[ A = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3(y - 2)^2}{4} - (x - 1)^2 + 1 + \frac{6064}{3} + 2 \] \[ A = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3(y - 2)^2}{4} - (x - 1)^2 + \frac{6067}{3} \] Bước 9: Ta nhận thấy rằng \( (x + \frac{y}{2})^2 \geq 0 \), \( \frac{3(y - 2)^2}{4} \geq 0 \), và \( -(x - 1)^2 \leq 0 \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) xảy ra khi \( (x + \frac{y}{2})^2 = 0 \), \( \frac{3(y - 2)^2}{4} = 0 \), và \( -(x - 1)^2 = 0 \). Khi đó, ta có \( x + \frac{y}{2} = 0 \), \( y - 2 = 0 \), và \( x - 1 = 0 \). Giải hệ phương trình này, ta được \( x = 1 \) và \( y = 2 \). Thay \( x = 1 \) và \( y = 2 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = 1^2 + 1 \cdot 2 + 2^2 - 2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + \frac{6067}{3} \] \[ A = 1 + 2 + 4 - 2 - 6 + \frac{6067}{3} \] \[ A = -1 + \frac{6067}{3} \] \[ A = \frac{-3 + 6067}{3} \] \[ A = \frac{6064}{3} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là \( \frac{6064}{3} \), đạt được khi \( x = 1 \) và \( y = 2 \).