Giải toán tạp

Câu 14: Để kiểm tra từng cặp số có thỏa mãn hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}cx+y\leq3\\3x-2y>-4\end{array}\right.$ hay không, ta lần lượt thay các giá trị của mỗi cặp số vào hệ bất phương trình và kiểm tra. A. Với cặp số (0, 0): - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $0 + 0 \leq 3$ (đúng) - Thay vào bất phương trình thứ hai: $3 \times 0 - 2 \times 0 > -4$ (đúng) B. Với cặp số (1, 1): - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $1 + 1 \leq 3$ (đúng) - Thay vào bất phương trình thứ hai: $3 \times 1 - 2 \times 1 > -4$ (đúng) C. Với cặp số (-2, 2): - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $-2 + 2 \leq 3$ (đúng) - Thay vào bất phương trình thứ hai: $3 \times (-2) - 2 \times 2 > -4$ $-6 - 4 > -4$ $-10 > -4$ (sai) D. Với cặp số (-1, -1): - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $-1 + (-1) \leq 3$ (đúng) - Thay vào bất phương trình thứ hai: $3 \times (-1) - 2 \times (-1) > -4$ $-3 + 2 > -4$ $-1 > -4$ (đúng) Như vậy, cặp số (-2, 2) không thỏa mãn hệ bất phương trình. Đáp án đúng là: C. -2;2 Câu 15: Trước tiên, ta xét góc $\alpha$ nằm trong khoảng $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Góc này thuộc góc phần tư thứ hai của nửa đường tròn đơn vị. - Trong góc phần tư thứ hai: - Sinus ($\sin \alpha$) là dương vì tọa độ y của điểm trên đường tròn đơn vị là dương. - Cosinus ($\cos \alpha$) là âm vì tọa độ x của điểm trên đường tròn đơn vị là âm. - Tangens ($\tan \alpha$) là âm vì $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ và $\sin \alpha$ dương, $\cos \alpha$ âm. - Cotangens ($\cot \alpha$) là âm vì $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ và $\cos \alpha$ âm, $\sin \alpha$ dương. Do đó, ta có: - $\cos \alpha < 0$ - $\tan \alpha < 0$ - $\cot \alpha < 0$ - $\sin \alpha > 0$ Như vậy, khẳng định sai là: D. $\sin \alpha < 0$ Câu 16: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một dựa trên các công thức liên quan đến tam giác. A. $R = \frac{abc}{4S}$ - Đây là công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Công thức này đúng. B. $\frac{a}{\sin A} = R$ - Theo Định lý sin, ta có $\frac{a}{\sin A} = 2R$. Vậy khẳng định này sai vì thiếu nhân 2. C. $\frac{a}{\sin B} = 2R$ - Theo Định lý sin, ta có $\frac{a}{\sin A} = 2R$, không phải $\frac{a}{\sin B} = 2R$. Vậy khẳng định này sai. D. $\frac{c}{\sin C} = 2r$ - Theo Định lý sin, ta có $\frac{c}{\sin C} = 2R$, không phải $2r$. Vậy khẳng định này sai. Kết luận: Khẳng định đúng là A. $R = \frac{abc}{4S}$. Đáp án: A. $R = \frac{abc}{4S}$. Câu 17: Để tính bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức liên quan đến diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp: \[ R = \frac{abc}{4S} \] Trong đó: - \( a, b, c \) là độ dài ba cạnh của tam giác. - \( S \) là diện tích của tam giác. Bước 1: Xác định các cạnh của tam giác \( ABC \): - \( AB = c = 3 \) - \( AC = b = 6 \) - \( BC = a \) (cạnh còn lại chưa biết) Bước 2: Tính diện tích \( S \) của tam giác \( ABC \) bằng công thức Heron hoặc trực tiếp từ công thức diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc giữa chúng: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(A) \] \[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times \sin(60^\circ) \] \[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \sqrt{3} \] \[ S = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \] Bước 3: Áp dụng công thức tính bán kính \( R \): \[ R = \frac{abc}{4S} \] Ta cần biết độ dài cạnh \( BC = a \). Ta sử dụng Định lý Cosine để tính \( a \): \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \] \[ a^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \times 6 \times 3 \times \cos(60^\circ) \] \[ a^2 = 36 + 9 - 2 \times 6 \times 3 \times \frac{1}{2} \] \[ a^2 = 36 + 9 - 18 \] \[ a^2 = 27 \] \[ a = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] Bây giờ ta có tất cả các thông tin cần thiết để tính \( R \): \[ R = \frac{3 \times 6 \times 3\sqrt{3}}{4 \times \frac{9 \sqrt{3}}{2}} \] \[ R = \frac{54 \sqrt{3}}{18 \sqrt{3}} \] \[ R = 3 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( R = 3 \) Câu 18: Để tính khoảng cách từ điểm A trên đảo đến điểm B trên bờ hồ, chúng ta sẽ sử dụng Định lý Sin trong tam giác ABC. Bước 1: Xác định các góc và cạnh đã biết: - Góc B = 88° - Góc C = 85° - Cạnh BC = 50 m Bước 2: Tính góc A: Góc A = 180° - (góc B + góc C) Góc A = 180° - (88° + 85°) Góc A = 180° - 173° Góc A = 7° Bước 3: Áp dụng Định lý Sin: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \] Bước 4: Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ \frac{AB}{\sin 85°} = \frac{50}{\sin 7°} \] Bước 5: Giải phương trình để tìm AB: \[ AB = \frac{50 \times \sin 85°}{\sin 7°} \] Bước 6: Tính toán: \[ \sin 85° \approx 0,9962 \] \[ \sin 7° \approx 0,1219 \] \[ AB = \frac{50 \times 0,9962}{0,1219} \approx \frac{49,81}{0,1219} \approx 408,61 \] Vậy khoảng cách từ A đến B là khoảng 408,7 m (làm tròn đến hàng phần mười). Đáp án đúng là: D. 408,7 m. Câu 19: Trước tiên, ta cần hiểu rằng hai góc bù nhau có tổng bằng 180°. Do đó, nếu $\alpha$ và $\beta$ là hai góc bù nhau, ta có: \[ \alpha + \beta = 180^\circ \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một: A. $\sin\alpha = \sin\beta$ - Ta biết rằng $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$. Vì $\beta = 180^\circ - \alpha$, nên ta có: \[ \sin\beta = \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha \] Do đó, đẳng thức này đúng. B. $\cos\alpha = -\cos\beta$ - Ta biết rằng $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$. Vì $\beta = 180^\circ - \alpha$, nên ta có: \[ \cos\beta = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \] Do đó, đẳng thức này đúng. C. $\tan\alpha = -\tan\beta$ - Ta biết rằng $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta$. Vì $\beta = 180^\circ - \alpha$, nên ta có: \[ \tan\beta = \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha \] Do đó, đẳng thức này đúng. D. $\cot\alpha = \cot\beta$ - Ta biết rằng $\cot(180^\circ - \theta) = -\cot\theta$. Vì $\beta = 180^\circ - \alpha$, nên ta có: \[ \cot\beta = \cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha \] Do đó, đẳng thức này sai. Vậy, đẳng thức sai là: \[ \boxed{D} \] Câu 20: Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề về diện tích tam giác ABC, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. \( S = pr \) - Đây là công thức tính diện tích tam giác thông qua bán kính đường tròn nội tiếp và nửa chu vi. Công thức này đúng. B. \( S = \frac{abc}{4R} \) - Đây là công thức tính diện tích tam giác thông qua ba cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp. Công thức này đúng. C. \( S = \frac{1}{2} ab \sin C \) - Đây là công thức tính diện tích tam giác thông qua hai cạnh và sin của góc giữa chúng. Công thức này đúng. D. \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) - Đây là công thức Heron để tính diện tích tam giác thông qua nửa chu vi và ba cạnh. Công thức này đúng. Như vậy, tất cả các công thức đều đúng. Tuy nhiên, trong câu hỏi, chúng ta cần xác định mệnh đề sai. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn trong việc so sánh các công thức. Mệnh đề B đã được viết sai trong câu hỏi, nó phải là \( S = \frac{abc}{4R} \) chứ không phải \( S = \frac{abc}{2R} \). Vậy, mệnh đề sai là: B. \( S = \frac{abc}{2R} \) Đáp án: B. Câu 21: Để tính diện tích tam giác ABC với các cạnh \( AB = 3 \), \( BC = 5 \), và \( CA = 6 \), ta sẽ sử dụng công thức Heron. Bước 1: Tính nửa chu vi \( p \) của tam giác: \[ p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{3 + 5 + 6}{2} = 7 \] Bước 2: Áp dụng công thức Heron để tính diện tích \( S \): \[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - CA)} \] \[ S = \sqrt{7(7 - 3)(7 - 5)(7 - 6)} \] \[ S = \sqrt{7 \times 4 \times 2 \times 1} \] \[ S = \sqrt{56} \] Vậy diện tích tam giác ABC là \( \sqrt{56} \). Đáp án đúng là: A. \( \sqrt{56} \). Câu 22: Để ước tính chiều dài của đường hầm, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát và áp dụng các kiến thức về tam giác và đường tròn. Giả sử: - Điểm A là điểm đầu tiên của đường hầm. - Điểm B là điểm cuối của đường hầm. - Điểm C là điểm giữa của đoạn thẳng AB. - Đoạn thẳng AC và CB là hai bán kính của đường tròn. Từ hình vẽ, ta thấy rằng: - Đoạn thẳng AC = CB = R (bán kính của đường tròn). - Góc ACB = 120° (góc ở đỉnh của tam giác đều). Ta sẽ sử dụng công thức tính chiều dài của dây cung trong đường tròn để tìm chiều dài của đoạn thẳng AB. Công thức tính chiều dài dây cung: \[ AB = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \] Trong đó: - \( R \) là bán kính của đường tròn. - \( \theta \) là góc ở đỉnh của tam giác đều. Áp dụng vào bài toán: - \( R = 1000 \) mét (giả sử bán kính là 1000 mét). - \( \theta = 120^\circ \). Tính nửa góc: \[ \frac{\theta}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \] Tính sin của 60°: \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thay vào công thức: \[ AB = 2 \times 1000 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1000 \sqrt{3} \] Kết quả: \[ AB \approx 1000 \times 1.732 = 1732 \text{ mét} \] Vậy, chiều dài của đường hầm gần nhất với kết quả là 1732 mét.