Gọi G là trọng tâm của tam giác abc. Dựng vecto ad = vecto gc, vecto de = vecto gb. CMR: điểm E trùng điểm G

Question

Accepted Answer

Để chứng minh điểm $ E $ trùng với điểm $ G $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $:

Trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ là điểm thỏa mãn:
   $$
   \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}
   $$
   và có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ ba đỉnh:
   $$
   G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)
   $$

2. Dựng điểm $ D $ sao cho $\vec{AD} = \vec{GC}$:

Điều này có nghĩa là:
   $$
   \vec{D} = \vec{A} + \vec{GC}
   $$
   Suy ra:
   $$
   \vec{D} = \vec{A} + \left(\frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} - \vec{C}\right) = \frac{4\vec{A} + \vec{B} - 2\vec{C}}{3}
   $$

3. Dựng điểm $ E $ sao cho $\vec{DE} = \vec{GB}$:

Điều này có nghĩa là:
   $$
   \vec{E} = \vec{D} + \vec{GB}
   $$
   Suy ra:
   $$
   \vec{E} = \frac{4\vec{A} + \vec{B} - 2\vec{C}}{3} + \left(\frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} - \vec{B}\right)
   $$
   $$
   \vec{E} = \frac{4\vec{A} + \vec{B} - 2\vec{C}}{3} + \frac{\vec{A} - 2\vec{B} + \vec{C}}{3}
   $$
   $$
   \vec{E} = \frac{5\vec{A} - \vec{B} - \vec{C}}{3}
   $$

4. Chứng minh $ E $ trùng với $ G $:

Tọa độ của $ G $ là:
   $$
   \vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}
   $$

So sánh tọa độ của $ \vec{E} $ và $ \vec{G} $:
   $$
   \vec{E} = \frac{5\vec{A} - \vec{B} - \vec{C}}{3} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \vec{G}
   $$

Do đó, $ E $ trùng với $ G $.

Vậy, ta đã chứng minh được điểm $ E $ trùng với điểm $ G $.