giải giúp mình nhé

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về các ký hiệu và tập hợp số đã cho. - \( \mathbb{N} \) là tập hợp các số tự nhiên, tức là các số nguyên dương bao gồm 1, 2, 3, 4, ... - \( 3 \) là một số tự nhiên cụ thể. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. \( 3 \in \mathbb{N} \) - Đúng vì \( 3 \) - Đáp số: Giá trị lớn nhất của biểu thức đạt được khi \( x = 3 \). Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta cần giải phương trình bậc hai \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) và kiểm tra các nghiệm có thuộc tập hợp số hữu tỉ \(\mathbb{Q}\) hay không. Bước 1: Giải phương trình \(3x^2 - 5x + 2 = 0\). Phương trình \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) có dạng tổng quát \(ax^2 + bx + c = 0\). Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đại số sơ cấp. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong phương trình \(3x^2 - 5x + 2 = 0\), ta có: \[ a = 3, \quad b = -5, \quad c = 2 \] Tính biệt thức \(\Delta\): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \] Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình. \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6} \] Do đó, ta có: \[ x_1 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Bước 3: Kiểm tra các nghiệm có thuộc tập hợp số hữu tỉ \(\mathbb{Q}\) hay không. Cả hai nghiệm \(x_1 = 1\) và \(x_2 = \frac{2}{3}\) đều là số hữu tỉ. Vậy tập hợp \(A\) là: \[ A = \left\{1, \frac{2}{3}\right\} \] So sánh với các đáp án đã cho: \[ A.~A=\left\{\frac{3}{2}\right\} \] \[ B.~A=\{2\} \] \[ C.~A=\left\{1; \frac{3}{2}\right\} \] \[ D.~A=\{1\} \] Rõ ràng, đáp án đúng là: \[ C.~A=\left\{1; \frac{2}{3}\right\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~A=\left\{1; \frac{2}{3}\right\}} \] Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên \( x \) sao cho biểu thức \((x^2 - 5x - 6)(2x - 3) = 0\). Bước 1: Giải phương trình \((x^2 - 5x - 6)(2x - 3) = 0\). Phương trình này sẽ bằng 0 nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0: \[ x^2 - 5x + m = 0 \] \] \[ \[ x = \frac{1}{2}\] Phương trình này sẽ bằng 0 nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0: \[ x^2 - 5x - 6 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x - 3 = 0 \] Bước 2: Giải phương trình \( x^2 - 5x - 6 = 0 \). Ta có: \[ x^2 - 5x - 6 = 0 \] \[ (x - 6)(x + 1) = 0 \] \[ x = 6 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bước 3: Giải phương trình \( 2x - 3 = 0 \). Ta có: \[ 2x - 3 = 0 \] \[ 2x = 3 \] \[ x = \frac{3}{2} \] Bước 4: Xác định các giá trị nguyên \( x \). Trong các nghiệm tìm được, chỉ có \( x = 6 \) và \( x = -1 \) là các số nguyên. Vậy tập hợp \( B \) là: \[ B = \{-1, 6\} \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ D.~B = \{-1; 6\} \] Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các phần tử của tập hợp \( C = \{ x \in \mathbb{N} \mid x^2 + 3x + 2 = 0 \} \). Bước 1: Giải phương trình \( x^2 + 3x + 2 = 0 \). Phương trình \( x^2 + 3x + 2 = 0 \) có thể được giải bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng công thức tổng quen thuộc của lớp 10. \( x^2 - 4 = 0 \) Ta có: \[ x^2 + 3x + 2 = 0 \] \[ (x + 1)(x + 2) = 0 \] Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình. \[ x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = 0 \] \[ x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Bước 3: Kiểm tra các nghiệm có thuộc tập hợp số tự nhiên \( \mathbb{N} \) hay không. Số tự nhiên \( \mathbb{N} \) bao gồm các số nguyên dương và số 0. Tuy nhiên, cả hai nghiệm \( x = -1 \) và \( x = -2 \) đều là số âm, do đó chúng không thuộc tập hợp số tự nhiên. Bước 4: Kết luận. Vì không có nghiệm nào của phương trình \( x^2 + 3x + 2 = 0 \) thuộc tập hợp số tự nhiên \( \mathbb{N} \), nên tập hợp \( C \) là tập hợp rỗng. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~C=\emptyset. \] Câu 6: Để liệt kê các phần tử của tập \( D = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 2x^2 - 3x + 1 = 0 \} \), chúng ta cần giải phương trình \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \) và kiểm tra xem nghiệm nào thuộc tập số nguyên \( \mathbb{Z} \). Bước 1: Giải phương trình \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \) Phương trình bậc hai tổng quát: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong phương trình này, \( a = 2 \), \( b = -3 \), và \( c = 1 \). Thay các giá trị này vào công thức: \[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} \] \[ x = \frac{3 \pm 1}{4} \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Bước 2: Kiểm tra xem nghiệm nào thuộc tập số nguyên \( \mathbb{Z} \). - Nghiệm \( x_1 = 1 \) thuộc tập số nguyên \( \mathbb{Z} \). - Nghiệm \( x_2 = \frac{1}{2} \) không thuộc tập số nguyên \( \mathbb{Z} \). Do đó, tập \( D \) chỉ chứa nghiệm \( x = 1 \). Vậy, đáp án đúng là: \[ D = \{1\} \] Đáp án: \( A.~D = \{1\} \) Câu 7: Để liệt kê các phần tử của tập \( E = \{ x \in \mathbb{Q} | (3x^2 - 5x + 2)(2x^2 - 8) = 0 \} \), chúng ta sẽ giải phương trình \((3x^2 - 5x + 2)(2x^2 - 8) = 0\). Phương trình này sẽ thỏa mãn nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0: 1. \(3x - 2 > 0\) 2. \( x \neq 0 \) 3. \( x \neq 1 \) Ta có: \[ (3x^2 - 5x + 2)(2x^2 - 8) = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ 3x^2 - 5x + 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 - 8 = 0 \] Giải phương trình \( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \): \[ 3x^2 - 5x + 2 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 3 \), \( b = -5 \), \( c = 2 \): \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{6} \] \[ x = \frac{5 \pm 1}{6} \] \[ x = \frac{6}{6} = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Giải phương trình \( 2x^2 - 8 = 0 \): \[ 2x^2 - 8 = 0 \] \[ 2x^2 = 8 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Vậy các nghiệm của phương trình \((3x^2 - 5x + 2)(2x^2 - 8) = 0\) là: \[ x = 1, \quad x = \frac{2}{3}, \quad x = 2, \quad x = -2 \] Do đó, tập \( E \) là: \[ E = \left\{ -2, \frac{2}{3}, 1, 2 \right\} \] Đáp án đúng là: \[ C.~E = \left\{ -2, \frac{2}{3}, 1, 2 \right\} \] Câu 8: Để tìm số phần tử của tập hợp \( A = \{ n^2 - 1 \mid n \in \mathbb{Z}, |n| < 4 \} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị của \( n \) thỏa mãn điều kiện \( |n| < 4 \): - Các giá trị của \( n \) là: \( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23 \). 2. Tính giá trị của \( n^2 - 1 \) cho mỗi giá trị của \( n \): - Khi \( n = -3 \): \( (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \) - Khi \( n = -2 \): \( (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \) - Khi \( n = -1 \): \( (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \) - Khi \( n = 0 \): \( 0^2 - 1 = 0 - 1 = -1 \) - Khi \( n = 1 \): \( 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \) - Khi \( n = 2 \): \( 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \) - Khi \( n = 3 \): \( 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \) 3. Liệt kê các giá trị duy nhất của \( n^2 - 1 \): - Các giá trị duy nhất là: \( -1, 0, 3, 8 \). 4. Đếm số phần tử duy nhất: - Số phần tử duy nhất là: \( -1, 0, 3, 8 \). Vậy số phần tử của tập hợp \( A \) là 4. Đáp án đúng là: D. 4. Câu 9: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp A, B, C, D là tập rỗng, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương trình trong mỗi tập hợp để xem liệu có nghiệm thuộc tập hợp số đã cho hay không. Tập hợp A: \( \{x \in \mathbb{N} | 3x^2 - 4x + 1 = 0\} \) Giải phương trình \( 3x^2 - 4x + 1 = 0 \): \[ \begin{array}{l} \Delta = {b^2} - 4ac = {(-4)^2} - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4 \\ {x_1} = \dfrac{{4 + \sqrt{4}}}{{2 \cdot 3}} = \dfrac{{4 + 2}}{6} = \dfrac{6}{6} = 1 \\ {x_2} = \dfrac{{4 - \sqrt{4}}}{{2 \cdot 3}} = \dfrac{{4 - 2}}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \end{array} \] Trong hai nghiệm này, chỉ có \( x = 1 \) là số tự nhiên (\(\mathbb{N}\)). Vậy tập hợp A không phải là tập rỗng. Tập hợp B: \( \{x \in \mathbb{Z} | |x| < 1\} \) Giải bất phương trình \( |x| < 1 \): \[ |x| < 1 \Rightarrow -1 < x < 1 \] Số nguyên duy nhất nằm trong khoảng này là \( x = 0 \). Vậy tập hợp B không phải là tập rỗng. Tập hợp C: \( \{x \in \mathbb{Q} | x^2 - 4x + 1 = 0\} \) Giải phương trình \( x^2 - 4x + 1 = 0 \): \[ \begin{array}{l} \Delta = {b^2} - 4ac = {(-4)^2} - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12 \\ {x_1} = \dfrac{{4 + \sqrt{12}}}{{2 \cdot 1}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt{3}}}{2} = 2 + \sqrt{3} \\ {x_2} = \dfrac{{4 - \sqrt{12}}}{{2 \cdot 1}} = \dfrac{{4 - 2\sqrt{3}}}{2} = 2 - \sqrt{3} \end{array} \] Cả hai nghiệm \( x_1 = 2 + \sqrt{3} \) và \( x_2 = 2 - \sqrt{3} \) đều không phải là số hữu tỉ (\(\mathbb{Q}\)). Vậy tập hợp C là tập rỗng. Tập hợp D: \( \{x \in \mathbb{Z} | 5x^2 + 7x + 2 = 0\} \) Giải phương trình \( 5x^2 + 7x + 2 = 0 \): \[ \begin{array}{l} \Delta = {b^2} - 4ac = {7^2} - 4(5)(2) = 49 - 40 = 9 \\ {x_1} = \dfrac{{-7 + \sqrt{9}}}{{2 \cdot 5}} = \dfrac{{-7 + 3}}{10} = \dfrac{-4}{10} = -\dfrac{2}{5} \\ {x_2} = \dfrac{{-7 - \sqrt{9}}}{{2 \cdot 5}} = \dfrac{{-7 - 3}}{10} = \dfrac{-10}{10} = -1 \end{array} \] Trong hai nghiệm này, chỉ có \( x = -1 \) là số nguyên (\(\mathbb{Z}\)). Vậy tập hợp D không phải là tập rỗng. Kết luận: Tập hợp C là tập rỗng. Câu 10: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp đã cho là tập rỗng, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương trình trong mỗi tập hợp để xem liệu có nghiệm thuộc tập hợp số tương ứng hay không. A. Tập hợp \( A = \{x \in \mathbb{N} | x^2 + 4x = 0\} \) Giải phương trình: \[ x^2 + 4x = 0 \] \[ x(x + 4) = 0 \] Nhận thấy rằng \( x \ne 0 \) và \( x \) là số nguyên dương, do đó \( x \) không thể bằng \( -4 \). Vì vậy, phương trình này không có nghiệm tự nhiên. Do đó, tập hợp \( A \) là tập rỗng. B. Tập hợp \( B = \{x \in \mathbb{Q} | x^2 - x - 20 = 0\} \) Giải phương trình: \[ x^2 - x - 20 = 0 \] \[ (x - 5)(x + 4) = 0 \] Phương trình này có nghiệm \( x = 5 \) và \( x = -4 \), cả hai đều là số hữu tỉ. Do đó, tập hợp \( B \) không phải là tập rỗng. C. Tập hợp \( C = \{x \in \mathbb{R} | x^2 - 2x + 3 = 0\} \) Giải phương trình: \[ x^2 - 2x + 3 = 0 \] Ta tính biệt số \( \Delta \): \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \] Vì \( \Delta < 0 \), phương trình này không có nghiệm thực. Do đó, tập hợp \( C \) là tập rỗng. D. Tập hợp \( D = \{x \in \mathbb{R} | 2x^2 - 5 = 0\} \) Giải phương trình: \[ 2x^2 - 5 = 0 \] \[ 2x^2 = 5 \] \[ x^2 = \frac{5}{2} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \] Phương trình này có nghiệm thực \( x = \sqrt{\frac{5}{2}} \) và \( x = -\sqrt{\frac{5}{2}} \). Do đó, tập hợp \( D \) không phải là tập rỗng. Tóm lại, các tập hợp rỗng là: \[ A \text{ và } C \] Câu 11: Ta sẽ kiểm tra từng tập hợp để xác định tập nào khác rỗng. A. Tập hợp $\{x \in \mathbb{R} | x^2 + 2x + 15 = 0\}$: Phương trình $x^2 + 2x + 15 = 0$ có biệt thức $\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 - 60 = -56$. Vì \(\Delta < 0\), phương trình vô nghiệm thực. Do đó, phương trình đã cho không có nghiệm. Câu 12: Tập A có 4 phần tử. Số tập con có hai phần tử của tập A là tổ hợp chập 2 của 4, ký hiệu là $C_4^2$. Ta có: \[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] Vậy tập A có 6 tập con có hai phần tử. Đáp án đúng là: Giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi \( x = 2 \). Lưu ý: Đáp án này không liên quan đến nội dung câu hỏi ban đầu về tổ hợp. Đây là lỗi trong quá trình xử lý câu trả lời. Đáp án chính xác cho câu hỏi ban đầu là: Tập A có 6 tập con có hai phần tử. Đáp án: A. 6. Câu 13: Tập A có 5 phần tử. Số tập con của A là \( 2^5 = 32 \). Số tập con của A chứa 1 số 2 là \( 2^4 = 16 \). Số tập con của A gồm có 2 phần tử là \( C_5^2 = 10 \). Số tập con của A gồm có 3 phần tử là \( C_5^3 = 10 \). Do đó, đáp án đúng là: Giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 14: Để xác định khẳng định nào sai trong các khẳng định đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. A. \(-1 = A\) Khẳng định này sai vì \(-1\) là một phần tử của tập hợp \(A\), nhưng nó không thể bằng toàn bộ tập hợp \(A\). Một phần tử không thể bằng một tập hợp chứa nhiều phần tử khác nhau. B. \(\emptyset \subset A\) Khẳng định này đúng vì theo tính chất của đại số tuyến tính, mọi số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các số nguyên liên tiếp. C. \(\{-1; 3\} \subset A\) Khẳng định này đúng vì cả hai phần tử \(-1\) và \(3\) đều thuộc tập hợp \(A\). D. \(-1 \in A\) Khẳng định này đúng vì \(-1\) là một phần tử của tập hợp \(A\). Do đó, khẳng định sai là: \[ \boxed{A} \] Câu 15: Trước tiên, ta cần xác định các phần tử của tập hợp $A$. Ta có: \[ k \in \mathbb{Z} \quad \text{và} \quad |k| < 3 \] Do đó, $k$ có thể nhận các giá trị: $-2, -1, 0, 1, 2$. Bây giờ, ta sẽ tính các giá trị tương ứng của $x$: - Khi $k = -2$, ta có \( \frac{1}{(2n+1)^2} + \frac{1}{(2n+1)^2} + \cdots + \frac{1}{(3n+1)^2} < \frac{3}{4} \) - Khi $k = -1$, ta có $x = 2(-1)^2 - 1 = 2(1) - 1 = 1$ - Khi $k = 0$, ta có $x = 2(0)^2 - 1 = -1$ - Khi $k = 1$, ta có $x = 2(1)^2 - 1 = 1$ - Khi $k = 2$, ta có $x = 2(2)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 7$ Như vậy, tập hợp $A$ có các phần tử là: \[ A = \{-7, -1, 1, 7\} \] Tập hợp $A$ có 4 phần tử. Số lượng tập con của một tập hợp có $n$ phần tử là $2^n$. Do đó, số lượng tập con của tập hợp $A$ là: \[ 2^4 = 16 \] Vậy, tập $A$ có 16 tập con. Đáp án đúng là: C. 16. Câu 16: Để xác định mệnh đề nào sai, ta cần xem xét mối quan hệ giữa các tập hợp hình học đã cho: T (tập hợp các tứ giác), H (tập hợp các hình thang), V (tập hợp các hình vuông), C (tập hợp các hình chữ nhật), O (tập hợp các hình thoi), B (tập hợp các hình bình hành). 1. Quan hệ giữa các tập hợp: - Tất cả các hình vuông (V) đều là hình chữ nhật (C), hình thoi (O), và hình bình hành (B). - Tất cả các hình chữ nhật (C) đều là hình bình hành (B). - Tất cả các hình thoi (O) đều là hình bình hành (B). - Tất cả các hình bình hành (B) đều là hình thang (H). - Tất cả các hình thang (H) đều là tứ giác (T). 2. Xét các mệnh đề: - Mệnh đề 1: "Mọi hình vuông đều là hình chữ nhật." (Đúng, vì hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật.) - Mệnh đề 2: "Mọi hình vuông đều là hình thoi." (Đúng, vì hình vuông có tất cả các tính chất của hình thoi.) - Mệnh đề 3: "Mọi hình chữ nhật đều là hình thoi." (Sai, vì hình chữ nhật không nhất thiết có các cạnh bằng nhau như hình thoi.) - Mệnh đề 4: "Mọi hình thoi đều là hình bình hành." (Đúng, vì hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.) - Mệnh đề 5: "Mọi hình bình hành đều là hình thang." (Đúng, vì hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song, nên cũng là một loại hình thang.) Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề 3: "Mọi hình chữ nhật đều là hình thoi."