Trong không gian Oxyz, cho 4(1; -2; 2), B(-5; 6; 4) và C(0; 1; -2). a) Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tính số đo các góc của tam giác

a) Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC: Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] Thay tọa độ của A, B, C vào công thức trên: \[ G\left(\frac{1 + (-5) + 0}{3}, \frac{-2 + 6 + 1}{3}, \frac{2 + 4 + (-2)}{3}\right) \] \[ G\left(\frac{-4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{4}{3}\right) \] b) Tính số đo các góc của tam giác ABC: Đầu tiên, ta tính các vectơ cạnh của tam giác ABC: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-5 - 1, 6 + 2, 4 - 2) = (-6, 8, 2) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 1, 1 + 2, -2 - 2) = (-1, 3, -4) \] \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (0 + 5, 1 - 6, -2 - 4) = (5, -5, -6) \] Tiếp theo, ta tính độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 64 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 25 + 36} = \sqrt{86} \] Sau đó, ta tính các tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-6)(-1) + 8(3) + 2(-4) = 6 + 24 - 8 = 22 \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-6)(5) + 8(-5) + 2(-6) = -30 - 40 - 12 = -82 \] \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1)(5) + 3(-5) + (-4)(-6) = -5 - 15 + 24 = 4 \] Cuối cùng, ta tính các góc bằng công thức: \[ \cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{22}{2\sqrt{26} \cdot \sqrt{26}} = \frac{22}{2 \cdot 26} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26} \] \[ \cos \angle ABC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}|} = \frac{-82}{2\sqrt{26} \cdot \sqrt{86}} = \frac{-82}{2 \cdot \sqrt{2236}} = \frac{-82}{2 \cdot 47.28} = \frac{-82}{94.56} \approx -0.867 \] \[ \cos \angle ACB = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{BC}|} = \frac{4}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{86}} = \frac{4}{\sqrt{2236}} = \frac{4}{47.28} \approx 0.0846 \] Từ đó suy ra các góc: \[ \angle BAC = \cos^{-1}\left(\frac{11}{26}\right) \] \[ \angle ABC = \cos^{-1}(-0.867) \] \[ \angle ACB = \cos^{-1}(0.0846) \] Đáp số: a) Trọng tâm G của tam giác ABC là \( G\left(\frac{-4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{4}{3}\right) \) b) Số đo các góc của tam giác ABC là: \[ \angle BAC = \cos^{-1}\left(\frac{11}{26}\right) \] \[ \angle ABC = \cos^{-1}(-0.867) \] \[ \angle ACB = \cos^{-1}(0.0846) \]