mình muốn hỏi

Câu 54: Để tìm tọa độ của các điểm B và C, ta sẽ sử dụng tính chất của trực tâm H trong tam giác ABC. 1. Tìm tọa độ của điểm B: - Điểm B nằm trên mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ dương, tức là tọa độ của B có dạng $(x_B, y_B, 0)$ với $x_B > 0$. - Vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên đoạn thẳng AH vuông góc với BC. Ta có: \[ \overrightarrow{AH} = (2-3, 1-1, 1-0) = (-1, 0, 1) \] \[ \overrightarrow{BC} = (0-x_B, 0-y_B, z_C-0) = (-x_B, -y_B, z_C) \] Điều kiện vuông góc là: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \implies (-1)(-x_B) + 0(-y_B) + 1(z_C) = 0 \implies x_B + z_C = 0 \] 2. Tìm tọa độ của điểm C: - Điểm C nằm trên trục Oz, tức là tọa độ của C có dạng $(0, 0, z_C)$. - Vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên đoạn thẳng BH vuông góc với AC. Ta có: \[ \overrightarrow{BH} = (2-x_B, 1-y_B, 1-0) = (2-x_B, 1-y_B, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (0-3, 0-1, z_C-0) = (-3, -1, z_C) \] Điều kiện vuông góc là: \[ \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \implies (2-x_B)(-3) + (1-y_B)(-1) + 1(z_C) = 0 \implies -6 + 3x_B - 1 + y_B + z_C = 0 \implies 3x_B + y_B + z_C = 7 \] 3. Giải hệ phương trình: - Từ hai điều kiện vuông góc, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x_B + z_C = 0 \\ 3x_B + y_B + z_C = 7 \end{cases} \] - Thay $z_C = -x_B$ vào phương trình thứ hai: \[ 3x_B + y_B - x_B = 7 \implies 2x_B + y_B = 7 \] - Ta có phương trình $2x_B + y_B = 7$. Để tìm các giá trị cụ thể của $x_B$ và $y_B$, ta thử các giá trị dương của $x_B$: - Nếu $x_B = 3$, thì $y_B = 7 - 2 \times 3 = 1$. Tuy nhiên, $x_B$ phải dương và $y_B$ phải thỏa mãn điều kiện của B. - Nếu $x_B = 1$, thì $y_B = 7 - 2 \times 1 = 5$. Tuy nhiên, $y_B$ phải thỏa mãn điều kiện của B. - Nếu $x_B = 3$, thì $y_B = 7 - 2 \times 3 = 1$. Tuy nhiên, $x_B$ phải dương và $y_B$ phải thỏa mãn điều kiện của B. 4. Kiểm tra lại các đáp án: - Đáp án A: $B(3, 1, 0)$ và $C(0, 0, -3)$ \[ x_B + z_C = 3 + (-3) = 0 \quad \text{(thỏa mãn)} \] \[ 3x_B + y_B + z_C = 3 \times 3 + 1 + (-3) = 9 + 1 - 3 = 7 \quad \text{(thỏa mãn)} \] Do đó, tọa độ của các điểm B và C thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \[ \boxed{B(3, 1, 0), C(0, 0, -3)} \]