mình muốn hỏi Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có $A(3;1;0),$ B nằm trên mặt phẳng,(Oxy) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và $H(2;1;1)$ là trực tâm của tam giác ABC . Toạ,độ các điểm B,,C ttỏỏ mãn yyêu ầầ bàiitoán là,$ extcircled{A.}~B(3;1;0),~C(0;0;-3).$ $B.~B(1;3;0),~C(0;0;-3).$ $C.~B(3;-3;0),~C(0;0;1).$ D.,$B(1;-3;0),~C(0;0;1).$

Question

mình muốn hỏi Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có $A(3;1;0),$ B nằm trên mặt phẳng,(Oxy) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và $H(2;1;1)$ là trực tâm của tam giác ABC . Toạ,độ các điểm B,,C ttỏỏ mãn yyêu ầầ bàiitoán là,$	extcircled{A.}~B(3;1;0),~C(0;0;-3).$ $B.~B(1;3;0),~C(0;0;-3).$ $C.~B(3;-3;0),~C(0;0;1).$ D.,$B(1;-3;0),~C(0;0;1).$

Accepted Answer

Câu 54:
Để tìm tọa độ của các điểm B và C, ta sẽ sử dụng tính chất của trực tâm H trong tam giác ABC.

1. Tìm tọa độ của điểm B:
   - Điểm B nằm trên mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ dương, tức là tọa độ của B có dạng $(x_B, y_B, 0)$ với $x_B > 0$.
   - Vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên đoạn thẳng AH vuông góc với BC. Ta có:
     $$
     \overrightarrow{AH} = (2-3, 1-1, 1-0) = (-1, 0, 1)
     $$
     $$
     \overrightarrow{BC} = (0-x_B, 0-y_B, z_C-0) = (-x_B, -y_B, z_C)
     $$
     Điều kiện vuông góc là:
     $$
     \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \implies (-1)(-x_B) + 0(-y_B) + 1(z_C) = 0 \implies x_B + z_C = 0
     $$

2. Tìm tọa độ của điểm C:
   - Điểm C nằm trên trục Oz, tức là tọa độ của C có dạng $(0, 0, z_C)$.
   - Vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên đoạn thẳng BH vuông góc với AC. Ta có:
     $$
     \overrightarrow{BH} = (2-x_B, 1-y_B, 1-0) = (2-x_B, 1-y_B, 1)
     $$
     $$
     \overrightarrow{AC} = (0-3, 0-1, z_C-0) = (-3, -1, z_C)
     $$
     Điều kiện vuông góc là:
     $$
     \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \implies (2-x_B)(-3) + (1-y_B)(-1) + 1(z_C) = 0 \implies -6 + 3x_B - 1 + y_B + z_C = 0 \implies 3x_B + y_B + z_C = 7
     $$

3. Giải hệ phương trình:
   - Từ hai điều kiện vuông góc, ta có hệ phương trình:
     $$
     \begin{cases}
     x_B + z_C = 0 \
     3x_B + y_B + z_C = 7
     \end{cases}
     $$
   - Thay $z_C = -x_B$ vào phương trình thứ hai:
     $$
     3x_B + y_B - x_B = 7 \implies 2x_B + y_B = 7
     $$
   - Ta có phương trình $2x_B + y_B = 7$. Để tìm các giá trị cụ thể của $x_B$ và $y_B$, ta thử các giá trị dương của $x_B$:
     - Nếu $x_B = 3$, thì $y_B = 7 - 2 \times 3 = 1$. Tuy nhiên, $x_B$ phải dương và $y_B$ phải thỏa mãn điều kiện của B.
     - Nếu $x_B = 1$, thì $y_B = 7 - 2 \times 1 = 5$. Tuy nhiên, $y_B$ phải thỏa mãn điều kiện của B.
     - Nếu $x_B = 3$, thì $y_B = 7 - 2 \times 3 = 1$. Tuy nhiên, $x_B$ phải dương và $y_B$ phải thỏa mãn điều kiện của B.

4. Kiểm tra lại các đáp án:
   - Đáp án A: $B(3, 1, 0)$ và $C(0, 0, -3)$
     $$
     x_B + z_C = 3 + (-3) = 0 \quad \text{(thỏa mãn)}
     $$
     $$
     3x_B + y_B + z_C = 3 \times 3 + 1 + (-3) = 9 + 1 - 3 = 7 \quad \text{(thỏa mãn)}
     $$

Do đó, tọa độ của các điểm B và C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
$$
\boxed{B(3, 1, 0), C(0, 0, -3)}
$$