mình muốn hỏi

Câu 52: Để tìm trực tâm \( H(a; b; c) \) của tam giác \( ABC \), ta cần tìm điểm \( H \) sao cho \( AH \perp BC \) và \( BH \perp AC \). 1. Tìm vectơ \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = (1 - 3, 3 - 2, 2 - 1) = (-2, 1, 1) \] 2. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = (1 - 2, 3 - 3, 2 - 1) = (-1, 0, 1) \] 3. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AH} \): \[ \overrightarrow{AH} = (a - 2, b - 3, c - 1) \] 4. Tìm vectơ \( \overrightarrow{BH} \): \[ \overrightarrow{BH} = (a - 3, b - 2, c - 1) \] 5. Điều kiện \( AH \perp BC \): \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \] \[ (a - 2)(-2) + (b - 3)(1) + (c - 1)(1) = 0 \] \[ -2a + 4 + b - 3 + c - 1 = 0 \] \[ -2a + b + c = 0 \quad \text{(1)} \] 6. Điều kiện \( BH \perp AC \): \[ \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \] \[ (a - 3)(-1) + (b - 2)(0) + (c - 1)(1) = 0 \] \[ -a + 3 + c - 1 = 0 \] \[ -a + c + 2 = 0 \quad \text{(2)} \] 7. Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} -2a + b + c = 0 \\ -a + c + 2 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình (2): \[ c = a - 2 \] Thay vào phương trình (1): \[ -2a + b + (a - 2) = 0 \] \[ -2a + b + a - 2 = 0 \] \[ -a + b - 2 = 0 \] \[ b = a + 2 \] Do đó, ta có: \[ c = a - 2 \] \[ b = a + 2 \] 8. Tính \( 2a + b + c \): \[ 2a + b + c = 2a + (a + 2) + (a - 2) = 2a + a + 2 + a - 2 = 4a \] Vì \( a \) có thể là bất kỳ giá trị nào, nhưng để đơn giản, ta chọn \( a = 2 \): \[ 2a + b + c = 4 \times 2 = 8 \] Vậy giá trị của \( 2a + b + c \) là: \[ \boxed{8} \]