dbbdvdbxbd

Câu 4: Trong không gian Oxyz, biểu diễn của vectơ $\overrightarrow{a}$ qua các vectơ đơn vị là $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ sẽ là $(2, -3, 1)$ vì: - Hệ số của $\overrightarrow{i}$ là 2, tương ứng với tọa độ x. - Hệ số của $\overrightarrow{j}$ là -3, tương ứng với tọa độ y. - Hệ số của $\overrightarrow{k}$ là 1, tương ứng với tọa độ z. Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $(2, -3, 1)$. Đáp án đúng là: A. $(2, -3, 1)$. Câu 5: Để tìm tọa độ đỉnh \( D \) của hình bình hành \( ABCD \), ta sử dụng tính chất của hình bình hành: hai vectơ đối diện bằng nhau. Tọa độ của các đỉnh \( A, B, C \) lần lượt là: - \( A(3;1;2) \) - \( B(1;0;1) \) - \( C(2;3;0) \) Ta cần tìm tọa độ của đỉnh \( D \) là \( D(x;y;z) \). Theo tính chất của hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 3; 0 - 1; 1 - 2) = (-2; -1; -1) \] Tính vectơ \( \overrightarrow{DC} \): \[ \overrightarrow{DC} = C - D = (2 - x; 3 - y; 0 - z) \] Do đó: \[ \overrightarrow{DC} = (-2; -1; -1) \] Bằng cách so sánh các thành phần của hai vectơ, ta có: \[ 2 - x = -2 \] \[ 3 - y = -1 \] \[ 0 - z = -1 \] Giải các phương trình này: \[ 2 - x = -2 \Rightarrow x = 4 \] \[ 3 - y = -1 \Rightarrow y = 4 \] \[ 0 - z = -1 \Rightarrow z = 1 \] Vậy tọa độ của đỉnh \( D \) là \( D(4;4;1) \). Đáp án đúng là: C. \( D(4;4;1) \) Câu 6: Để tìm tọa độ điểm B sao cho $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$: - Ta biết rằng $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} = (-3; 2; 1)$. 2. Xác định tọa độ của điểm B: - Gọi tọa độ của điểm B là $(x_B, y_B, z_B)$. - Ta có $\overrightarrow{AB} = (x_B - 4, y_B - 6, z_B + 3)$. - Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$, nên ta có: \[ x_B - 4 = -3 \\ y_B - 6 = 2 \\ z_B + 3 = 1 \] 3. Giải hệ phương trình để tìm tọa độ của điểm B: - Từ phương trình thứ nhất: \[ x_B - 4 = -3 \implies x_B = -3 + 4 \implies x_B = 1 \] - Từ phương trình thứ hai: \[ y_B - 6 = 2 \implies y_B = 2 + 6 \implies y_B = 8 \] - Từ phương trình thứ ba: \[ z_B + 3 = 1 \implies z_B = 1 - 3 \implies z_B = -2 \] Vậy tọa độ của điểm B là $(1, 8, -2)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $(1; 8; -2)$. Câu 7: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} - 3\overrightarrow{t}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1; 2; 3) + (-2; 0; 1) = (1 - 2; 2 + 0; 3 + 1) = (-1; 2; 4) \] Bước 2: Tính $2\overrightarrow{c}$: \[ 2\overrightarrow{c} = 2(-1; 0; 1) = (-2; 0; 2) \] Bước 3: Tính $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}$: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = (-1; 2; 4) + (-2; 0; 2) = (-1 - 2; 2 + 0; 4 + 2) = (-3; 2; 6) \] Bước 4: Tính $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} - 3\overrightarrow{t}$: \[ \overrightarrow{n} = (-3; 2; 6) - 3(0; 0; 0) = (-3; 2; 6) \] Như vậy, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n}$ là $(-3; 2; 6)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{n} = (-6; 2; 6)$ Tuy nhiên, theo các tính toán trên, đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{n} = (-3; 2; 6)$ Đáp án: C. $\overrightarrow{n} = (-3; 2; 6)$ Câu 8: Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(C\) thẳng hàng, vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) phải cùng phương. Ta sẽ tính vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) và kiểm tra điều kiện để chúng cùng phương. 1. Tính vectơ \(AB\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (7-3, x-5, 1+1) = (4, x-5, 2) \] 2. Tính vectơ \(AC\): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (9-3, 2-5, y+1) = (6, -3, y+1) \] 3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương: \[ \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC} \] \[ (4, x-5, 2) = k \cdot (6, -3, y+1) \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ 4 = 6k \quad (1) \] \[ x - 5 = -3k \quad (2) \] \[ 2 = k(y + 1) \quad (3) \] Giải phương trình (1): \[ k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Thay \(k = \frac{2}{3}\) vào phương trình (2): \[ x - 5 = -3 \left(\frac{2}{3}\right) \] \[ x - 5 = -2 \] \[ x = 3 \] Thay \(k = \frac{2}{3}\) vào phương trình (3): \[ 2 = \frac{2}{3}(y + 1) \] \[ 2 = \frac{2}{3}y + \frac{2}{3} \] \[ 2 - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}y \] \[ \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}y \] \[ \frac{4}{3} = \frac{2}{3}y \] \[ y = 2 \] Vậy \(x = 3\) và \(y = 2\), do đó: \[ x + y = 3 + 2 = 5 \] Đáp án đúng là: A. 5. Câu 9: Điểm M thuộc trục $Ox$, do đó tọa độ của M có dạng $(x, 0, 0)$. Để M cách đều hai điểm A và B, ta có: \[ MA = MB \] Tính khoảng cách từ M đến A: \[ MA = \sqrt{(x - 4)^2 + (0 - 2)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + 4 + 1} = \sqrt{(x - 4)^2 + 5} \] Tính khoảng cách từ M đến B: \[ MB = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 1} \] Vì MA = MB, ta có: \[ \sqrt{(x - 4)^2 + 5} = \sqrt{(x - 2)^2 + 1} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (x - 4)^2 + 5 = (x - 2)^2 + 1 \] Mở rộng các bình phương: \[ x^2 - 8x + 16 + 5 = x^2 - 4x + 4 + 1 \] \[ x^2 - 8x + 21 = x^2 - 4x + 5 \] Trừ \(x^2\) từ cả hai vế: \[ -8x + 21 = -4x + 5 \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến x sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ -8x + 4x = 5 - 21 \] \[ -4x = -16 \] Chia cả hai vế cho -4: \[ x = 4 \] Do đó, tọa độ của điểm M là $(4, 0, 0)$. Đáp án đúng là: C. $M(4;0;0)$. Câu 10: Câu 1: Ta có: \[ \cos(\widehat{a, b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot 1 = -1 - 2 = -3 \] Tính độ dài các véc-tơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \] Do đó: \[ \cos(\widehat{a, b}) = \frac{-3}{3 \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Góc giữa hai véc-tơ là: \[ \widehat{a, b} = 135^\circ \] Đáp án: B. $135^\circ$ Câu 2: Ta có: \[ \cos(\widehat{a, b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-2) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) = -2 - 2 - 4 = -8 \] Tính độ dài các véc-tơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] Do đó: \[ \cos(\widehat{a, b}) = \frac{-8}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-8}{2\sqrt{18}} = \frac{-8}{6\sqrt{2}} = -\frac{4}{3\sqrt{2}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \] Đáp án: A. $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ Câu 3: Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a, ta có: - Điểm M là trung điểm của AD nên M có tọa độ $(0, \frac{a}{2}, 0)$. - Vectơ $\overrightarrow{BM}$ có tọa độ $(0 - a, \frac{a}{2} - 0, 0 - 0) = (-a, \frac{a}{2}, 0)$. - Vectơ $\overrightarrow{BD}$ có tọa độ $(a - 0, 0 - 0, 0 - a) = (a, 0, -a)$. Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BD} = (-a) \cdot a + \frac{a}{2} \cdot 0 + 0 \cdot (-a) = -a^2 + 0 + 0 = -a^2 \] Đáp án: D. $\frac{3}{4}a^2$ Câu 4: Để kiểm tra đúng sai, chúng ta cần biết cụ thể các phương án a), b), c), d) là gì. Vì đề bài không cung cấp đầy đủ thông tin, chúng ta không thể xác định được câu trả lời.