làm câu 11 $C.~M(-15;3;-7)$ $ extcircled{D.}~M(1\widehat8;-9;14)$,Câu 11. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm $I(7;7;5),$ và tiếp xúc với mặt,phẳng $(P):~x+4y+5z+14=0$ có bình phương bán kính là,$A.~\frac{2735}{21}$ $B.~\frac{912}7$ $C.~\frac{2740}{21}$ $D.~\frac{2738}{21}$,Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho $A(5;8;8),~B(-5;-4;2),~C(-4;5;-3),$ mặt phẳng,(P) qua C và vuông góc với AR cA nh

Question

làm câu 11 $C.~M(-15;3;-7)$ $	extcircled{D.}~M(1\widehat8;-9;14)$,Câu 11. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm $I(7;7;5),$ và tiếp xúc với mặt,phẳng $(P):~x+4y+5z+14=0$ có bình phương bán kính là,$A.~\frac{2735}{21}$ $B.~\frac{912}7$ $C.~\frac{2740}{21}$ $D.~\frac{2738}{21}$,Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho $A(5;8;8),~B(-5;-4;2),~C(-4;5;-3),$ mặt phẳng,(P) qua C và vuông góc với AR cA nh

Accepted Answer

Câu 11.
Để tìm bình phương bán kính của mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P):
   - Tâm của mặt cầu là $ I(7, 7, 5) $.
   - Mặt phẳng (P) có phương trình $ x + 4y + 5z + 14 = 0 $.

Khoảng cách $ d $ từ điểm $ I(x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ ax + by + cz + d = 0 $ được tính bằng công thức:
   $$
   d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
   $$

Thay các giá trị vào công thức:
   $$
   d = \frac{|1 \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 5 + 14|}{\sqrt{1^2 + 4^2 + 5^2}} = \frac{|7 + 28 + 25 + 14|}{\sqrt{1 + 16 + 25}} = \frac{|74|}{\sqrt{42}} = \frac{74}{\sqrt{42}}
   $$

Rút gọn:
   $$
   d = \frac{74}{\sqrt{42}} = \frac{74 \sqrt{42}}{42} = \frac{37 \sqrt{42}}{21}
   $$

2. Bán kính của mặt cầu:
   Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P), khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng chính là bán kính của mặt cầu. Do đó, bán kính $ r $ là:
   $$
   r = \frac{37 \sqrt{42}}{21}
   $$

3. Bình phương bán kính:
   Bình phương bán kính $ r^2 $ là:
   $$
   r^2 = \left( \frac{37 \sqrt{42}}{21} \right)^2 = \frac{(37 \sqrt{42})^2}{21^2} = \frac{37^2 \cdot 42}{441} = \frac{1369 \cdot 42}{441} = \frac{57498}{441} = \frac{2738}{21}
   $$

Vậy bình phương bán kính của mặt cầu là:
$$
\boxed{\frac{2738}{21}}
$$

Câu 12.
Để lập luận từng bước, chúng ta sẽ thực hiện các công việc sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm C và vuông góc với vectơ pháp tuyến đã tìm được.

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) chính là vectơ AB.

Vectơ AB được tính như sau:
$$ \overrightarrow{AB} = B - A = (-5 - 5; -4 - 8; 2 - 8) = (-10; -12; -6) $$

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (P)

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
$$ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$
trong đó $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm C và $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}$.

Thay vào phương trình:
$$ -10(x + 4) - 12(y - 5) - 6(z + 3) = 0 $$

Rút gọn phương trình:
$$ -10x - 40 - 12y + 60 - 6z - 18 = 0 $$
$$ -10x - 12y - 6z + 2 = 0 $$

Chia cả phương trình cho -2 để đơn giản hóa:
$$ 5x + 6y + 3z - 1 = 0 $$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
$$ 5x + 6y + 3z - 1 = 0 $$