Câu 11.
a) Đạo hàm của là:
Phương trình của tốc độ truyền bệnh là .
Vậy mệnh đề này đúng.
b) Số người bị nhiễm bệnh vào ngày thứ 13 là:
Vậy mệnh đề này sai vì số người bị nhiễm bệnh vào ngày thứ 13 là 5408, không phải 4752.
c) Số người bị nhiễm bệnh vào ngày thứ 45 là:
Vậy mệnh đề này đúng vì đến ngày thứ 45 thì không còn người bệnh.
d) Để kiểm tra xem trong 35 ngày đầu tiên thì số bệnh nhân luôn tăng, ta cần xem xét đạo hàm :
Để , ta giải bất phương trình:
Từ đây, ta thấy nằm trong khoảng . Do đó, trong khoảng thời gian từ ngày 0 đến ngày 30, số bệnh nhân luôn tăng. Từ ngày 30 trở đi, số bệnh nhân bắt đầu giảm dần. Vì vậy, trong 35 ngày đầu tiên, số bệnh nhân không luôn tăng.
Vậy mệnh đề này sai.
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Câu 12.
Để tính hiệu giữa C'(200) và chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 201, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm chi phí :
2. Tính :
3. Tính chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 201:
4. Tính chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 200:
5. Tính chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 201:
6. Tính hiệu giữa và chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 201:
7. Chuyển đổi từ nghìn đồng sang triệu đồng và làm tròn đến hàng phần chục:
Vậy, hiệu giữa và chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 201 là triệu đồng.
Câu 13.
Để tìm thời điểm nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số .
Bước 1: Tìm đạo hàm của :
Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình :
Vì thời gian không thể âm, ta chỉ xét .
Bước 3: Kiểm tra dấu của đạo hàm ở hai bên điểm :
- Khi , , do đó .
- Khi , , do đó .
Như vậy, đạt cực đại tại .
Bước 4: Tính giá trị của tại :
Vậy sau khi tiêm thuốc khoảng 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất, đạt giá trị 0.5 mg/L.
Đáp số: 1 giờ.
Câu 14.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phản xạ để tìm điểm M trên đoạn A'B' sao cho tổng khoảng cách từ hai xã A và B đến điểm M là nhỏ nhất.
Bước 1: Xây dựng hình học
- Xét điểm B' đối xứng với điểm B qua bờ sông Lam. Khi đó, khoảng cách từ B đến M sẽ bằng khoảng cách từ B' đến M.
Bước 2: Tìm điểm M
- Ta cần tìm điểm M trên đoạn A'B' sao cho tổng khoảng cách từ A đến M và từ B' đến M là nhỏ nhất. Điều này tương đương với việc tìm điểm M trên đoạn A'B' sao cho đường thẳng nối A và B' cắt đoạn A'B' tại điểm M.
Bước 3: Tính toán
- Ta có đoạn thẳng A'B' = 2200 m.
- Khoảng cách từ A đến bờ sông là 500 m, từ B đến bờ sông là 600 m, do đó khoảng cách từ B' đến bờ sông cũng là 600 m.
Bước 4: Áp dụng định lý Pythagoras
- Xét tam giác ABB', ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó là m.
Do đó, .
Đáp số: .
Câu 15.
Trong hình lăng trụ ABC.A'B'C', ta có các cạnh bên song song và bằng nhau. Do đó, vectơ sẽ bằng vectơ của các cạnh bên khác.
Ta kiểm tra từng đáp án:
- A. : Đây là vectơ nằm trong mặt đáy ABC, không phải là vectơ của cạnh bên.
- B. : Đây là vectơ của cạnh bên CC', song song và bằng .
- C. : Đây là vectơ ngược chiều với , do đó không bằng .
- D. : Đây là vectơ ngược chiều với , do đó không bằng .
Vậy vectơ bằng vectơ là .
Đáp án đúng là: B. .
Câu 16.
Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình lập phương ABCD.A'B'C'D', chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định các đỉnh và cạnh của hình lập phương:
- Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có 8 đỉnh: A, B, C, D, A', B', C', D'.
- Các cạnh của hình lập phương là AB, BC, CD, DA, AA', BB', CC', DD', A'B', B'C', C'D', D'A'.
2. Tính diện tích toàn phần của hình lập phương:
- Diện tích một mặt của hình lập phương là , trong đó là độ dài một cạnh của hình lập phương.
- Hình lập phương có 6 mặt, do đó diện tích toàn phần là .
3. Tính thể tích của hình lập phương:
- Thể tích của hình lập phương là .
4. Tính khoảng cách từ một đỉnh đến mặt đối diện:
- Khoảng cách từ một đỉnh đến mặt đối diện là .
5. Tính góc giữa hai đường chéo của hình lập phương:
- Góc giữa hai đường chéo của hình lập phương là 90 độ.
6. Tính diện tích xung quanh của hình lập phương:
- Diện tích xung quanh của hình lập phương là .
7. Tính diện tích một mặt phẳng cắt qua trung điểm của các cạnh của hình lập phương:
- Diện tích của một mặt phẳng cắt qua trung điểm của các cạnh của hình lập phương là .
8. Tính thể tích của khối chóp được tạo thành từ một đỉnh của hình lập phương và ba đỉnh kề nó:
- Thể tích của khối chóp này là .
9. Tính diện tích toàn phần của khối chóp được tạo thành từ một đỉnh của hình lập phương và ba đỉnh kề nó:
- Diện tích toàn phần của khối chóp này là .
10. Tính thể tích của khối đa diện được tạo thành từ bốn đỉnh kề nhau của hình lập phương:
- Thể tích của khối đa diện này là .
Trên đây là các bước lập luận chi tiết để giải quyết các bài toán liên quan đến hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.