............................

Câu 1: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[ x^2 - 2x - y^2 + 1 \] Ta nhóm các hạng tử lại để dễ dàng nhận thấy các nhân tử chung: \[ x^2 - 2x + 1 - y^2 \] Nhận thấy rằng \( x^2 - 2x + 1 \) là một hằng đẳng thức: \[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \] Do đó, ta có: \[ (x - 1)^2 - y^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ (x - 1)^2 - y^2 = (x - 1 - y)(x - 1 + y) \] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[ x^2 - 2x - y^2 + 1 = (x - 1 - y)(x - 1 + y) \] b) Giải phương trình: \[ 3x^2 - 12x = 0 \] Ta nhận thấy rằng cả hai hạng tử đều có ước chung là \( 3x \), do đó ta có thể đặt \( 3x \) làm nhân tử chung: \[ 3x(x - 4) = 0 \] Phương trình này sẽ bằng 0 nếu một trong hai nhân tử bằng 0: \[ 3x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 4 = 0 \] Giải từng phương trình: \[ 3x = 0 \Rightarrow x = 0 \] \[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] Câu 2: a) Điều kiện xác định của biểu thức \( A \): - \( x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \) - \( x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 \) - \( x^2 - 16 \neq 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 \) và \( x \neq -4 \) Vậy điều kiện xác định của biểu thức \( A \) là \( x \neq -4 \) và \( x \neq 4 \). b) Chứng minh \( A = \frac{5}{x-4} \): Ta có: \[ A = \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} + \frac{24 - x^2}{x^2 - 16} \] Phân tích mẫu số \( x^2 - 16 \): \[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \] Do đó: \[ \frac{24 - x^2}{x^2 - 16} = \frac{24 - x^2}{(x - 4)(x + 4)} \] Biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} + \frac{24 - x^2}{(x - 4)(x + 4)} \] Quy đồng mẫu số chung: \[ A = \frac{(x - 4) + x(x + 4) + (24 - x^2)}{(x - 4)(x + 4)} \] Rút gọn tử số: \[ (x - 4) + x(x + 4) + (24 - x^2) = x - 4 + x^2 + 4x + 24 - x^2 = 5x + 20 \] Vậy: \[ A = \frac{5x + 20}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{5(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{5}{x - 4} \] c) Tính giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = 10 \): Thay \( x = 10 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{5}{10 - 4} = \frac{5}{6} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = 10 \) là \( \frac{5}{6} \). Câu 3: Để tính diện tích vải bạt cần dùng để phủ mái chòi, ta cần tính diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều. Bước 1: Xác định các thông số cần thiết - Ta có đáy của hình chóp là một hình vuông cạnh a. - Chiều cao của hình chóp là h. - Chiều cao của mặt bên (chiều cao của tam giác đều) là h'. Bước 2: Tính diện tích đáy Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều là: \[ S_{đáy} = a^2 \] Bước 3: Tính diện tích một mặt bên Diện tích một mặt bên của hình chóp tứ giác đều là: \[ S_{mặt\ bên} = \frac{1}{2} \times a \times h' \] Bước 4: Tính diện tích toàn phần của hình chóp Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều là tổng diện tích đáy và diện tích của 4 mặt bên: \[ S_{toàn\ phần} = S_{đáy} + 4 \times S_{mặt\ bên} \] \[ S_{toàn\ phần} = a^2 + 4 \times \left( \frac{1}{2} \times a \times h' \right) \] \[ S_{toàn\ phần} = a^2 + 2 \times a \times h' \] Bước 5: Áp dụng vào bài toán cụ thể Giả sử ta biết cạnh đáy a và chiều cao của mặt bên h', ta có thể thay các giá trị này vào công thức trên để tính diện tích vải bạt cần dùng. Ví dụ, nếu a = 10 m và h' = 12 m, ta có: \[ S_{toàn\ phần} = 10^2 + 2 \times 10 \times 12 \] \[ S_{toàn\ phần} = 100 + 240 \] \[ S_{toàn\ phần} = 340 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích vải bạt cần dùng để phủ mái chòi là 340 m². Câu 4: a) Ta có MN // AB và MI // AC nên tứ giác ANMP là hình bình hành. Mà $\widehat{A}=90^{\circ}$ nên ANMP là hình chữ nhật. b) Xét $\Delta AMN$ và $\Delta CQM$ có: MN = MQ (do Q đối xứng với M qua N) $\widehat{AMN}=\widehat{CQM}=90^{\circ}$ MA = MC (M là trung điểm của BC) Nên $\Delta AMN=\Delta CQM$ (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra AM = CM, AQ = CN Mà CN = AB nên AQ = AB Tứ giác AMCQ có MA = MC, AQ = AB nên là hình thang cân. c) Ta có $BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=5(cm)$ Mà M là trung điểm của BC nên $CM=\frac{BC}{2}=2,5(cm)$ Tứ giác AMCQ là hình thang cân nên $AQ=CM=2,5(cm)$ Câu 5: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 - 2x + y^2 - y \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Nhóm các hạng tử liên quan để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \): \[ A = x^2 - 2x + y^2 - y \] 2. Tạo các bình phương hoàn chỉnh: Ta thấy rằng \( x^2 - 2x \) có thể viết dưới dạng \( (x - 1)^2 - 1 \) và \( y^2 - y \) có thể viết dưới dạng \( \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \): \[ A = (x^2 - 2x + 1) - 1 + \left(y^2 - y + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4} \] \[ A = (x - 1)^2 - 1 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \] 3. Gộp các bình phương hoàn chỉnh lại: \[ A = (x - 1)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - 1 - \frac{1}{4} \] \[ A = (x - 1)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{5}{4} \] 4. Xác định giá trị nhỏ nhất: Ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là \( (x - 1)^2 \geq 0 \) và \( \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0 \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) xảy ra khi cả hai bình phương đều bằng 0: \[ (x - 1)^2 = 0 \quad \text{và} \quad \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = 0 \] Điều này xảy ra khi \( x = 1 \) và \( y = \frac{1}{2} \). 5. Tính giá trị nhỏ nhất của \( A \): \[ A_{min} = 0 + 0 - \frac{5}{4} = -\frac{5}{4} \] Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là \( -\frac{5}{4} \), đạt được khi \( x = 1 \) và \( y = \frac{1}{2} \).