GIÚP MÌNH VỚI

Bài 3. a) Ta có $\widehat{BMN}=\widehat{BCN}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat{AMN}+\widehat{ANC}=180^\circ$ $\Rightarrow$ Tứ giác AMHN nội tiếp. b) Ta có $\widehat{MNB}=\widehat{MCB}$ (cùng chắn cung MC) $\widehat{CNH}=\widehat{CBN}$ (cùng chắn cung CN) $\Rightarrow \triangle CNH \sim \triangle CBN$ (g.g) $\Rightarrow \frac{CN}{CH}=\frac{CB}{CN}$ $\Rightarrow CN^2=CH.CB$ Tương tự ta có $CM^2=CH.CB$ $\Rightarrow CN^2=CM^2$ $\Rightarrow NA.NC=NH.NB$ c) Ta có $\widehat{INC}=\widehat{IMC}$ (tính chất đường tròn ngoại tiếp) $\widehat{IMC}=\widehat{IBC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) $\Rightarrow \widehat{INC}=\widehat{IBC}$ $\Rightarrow IN // BE$ $\Rightarrow \widehat{NIC}=\widehat{EOC}$ (hai góc so le trong) Bài 4. a) Ta có $\widehat{BAE}+\widehat{BCE}=180^\circ$ (tổng hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE) $\widehat{BCE}+\widehat{ECF}=180^\circ$ (hai góc kề bù) Suy ra $\widehat{BAE}=\widehat{ECF}$ Mà $\widehat{BAE}=\widehat{AFE}$ (góc giữa tia chung và hai tiếp tuyến) Suy ra $\widehat{AFE}=\widehat{ECF}$ Suy ra tứ giác ABEF nội tiếp (cặp góc đối bằng nhau) b) Ta có $\widehat{AFM}=\widehat{AEM}$ (cùng chắn cung AM) $\widehat{AEM}=\widehat{BDM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BM) Suy ra $\widehat{AFM}=\widehat{BDM}$ Ta có $\widehat{BDM}+\widehat{MDB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra $\widehat{AFM}+\widehat{MDB}=90^\circ$ Suy ra $\widehat{MDF}=90^\circ$ (cùng bù với $\widehat{AFM})$ Suy ra DM vuông góc với AC c) Ta có $\widehat{CAF}=\widehat{CAE}$ (góc giữa tia chung và tiếp tuyến) Suy ra $\triangle CAF \sim \triangle CAE$ (g.g) Suy ra $\frac{CF}{AC}=\frac{AC}{AE}$ Suy ra $AC^2=CF.AE$ Ta có $\widehat{CAD}=\widehat{CAE}$ (góc giữa tia chung và tiếp tuyến) Suy ra $\triangle CAD \sim \triangle CAE$ (g.g) Suy ra $\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{AE}$ Suy ra $AC^2=CD.AE$ Suy ra $CE.CF+AD.AE=AC^2$ Bài 5. a) Ta có $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^\circ$ nên tứ giác ABOC nội tiếp (cùng chắn cung BO). b) Ta có $\widehat{BAH}=\widehat{BCO}$ (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung OB) $\widehat{BCO}=\widehat{BDO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BO) $\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{BDO}$ Mà $\widehat{DBA}=\widehat{DBC}=90^\circ$ nên $\Delta BAH\backsim \Delta DBC$ $\Rightarrow \frac{BA}{BD}=\frac{BH}{BC}$ Ta lại có $\frac{BA}{BD}=\frac{BC}{BD}$ (góc $\widehat{BCD}=\widehat{BAD}$) $\Rightarrow \frac{BC}{BD}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow BC^2=BH.BD$ $\Rightarrow \Delta BHC\backsim \Delta BDC$ $\Rightarrow \widehat{BCH}=\widehat{BCD}$ $\Rightarrow \widehat{ACH}=\widehat{ACD}$ $\Rightarrow \widehat{ACH}=90^\circ$ $\Rightarrow OA\perp BC$ c) Ta có $\widehat{BHA}=\widehat{BDA}$ (chứng minh ở phần b) $\Rightarrow \widehat{BHD}=\widehat{BDA}$ $\Rightarrow \widehat{BHD}+\widehat{BND}=180^\circ$ $\Rightarrow$ Tứ giác BNDH nội tiếp $\Rightarrow \widehat{BNH}=\widehat{BDH}=90^\circ$ $\Rightarrow \widehat{BNH}+\widehat{BCH}=180^\circ$ $\Rightarrow$ Tứ giác BNCH nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CNH}=\widehat{CBH}$ Mà $\widehat{CBH}=\widehat{CDH}$ (chứng minh ở phần b) $\Rightarrow \widehat{CNH}=\widehat{CDH}$ $\Rightarrow$ Tứ giác CDNH nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CDN}=\widehat{CHN}=90^\circ$ $\Rightarrow \widehat{CDN}+\widehat{CDH}=180^\circ$ $\Rightarrow$ Ba điểm D, H, N thẳng hàng.