Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số

Câu 1. Để xác định tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = f(x) \), chúng ta sẽ dựa vào bảng biến thiên đã cho. 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng là những đường thẳng \( x = a \) sao cho \( \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \) hoặc \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \). Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to -1^- \), \( f(x) \to +\infty \). - Khi \( x \to -1^+ \), \( f(x) \to -\infty \). - Khi \( x \to 2^- \), \( f(x) \to -\infty \). - Khi \( x \to 2^+ \), \( f(x) \to +\infty \). Do đó, hàm số có hai đường tiệm cận đứng là \( x = -1 \) và \( x = 2 \). 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang là những đường thẳng \( y = b \) sao cho \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b \). Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to 1 \). - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to 1 \). Do đó, hàm số có một đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \). Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) là: \[ 2 \text{ (tiệm cận đứng)} + 1 \text{ (tiệm cận ngang)} = 3 \] Vậy đáp án đúng là: A. 3. Câu 2. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = x^3 - 3x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3 \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: Đạo hàm \( y' = 3x^2 - 3 \) sẽ giúp chúng ta xác định các khoảng tăng và giảm của hàm số. Ta giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] 3. Xét dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định: Ta xét dấu của đạo hàm \( y' = 3(x^2 - 1) \) trong các khoảng \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \), và \( (1, +\infty) \). - Khi \( x < -1 \): Chọn \( x = -2 \): \[ y' = 3((-2)^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0 \] Vậy \( y' > 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Khi \( -1 < x < 1 \): Chọn \( x = 0 \): \[ y' = 3(0^2 - 1) = 3(-1) = -3 < 0 \] Vậy \( y' < 0 \) trên khoảng \( (-1, 1) \). - Khi \( x > 1 \): Chọn \( x = 2 \): \[ y' = 3((2)^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0 \] Vậy \( y' > 0 \) trên khoảng \( (1, +\infty) \). 4. Kết luận: Hàm số \( y = x^3 - 3x \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \). Vậy đáp án đúng là: B. \( (-1, 1) \). Câu 3. Để xác định hàm số có đồ thị như đường cong trong hình, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho để xem nó có thỏa mãn các tính chất của đồ thị không. A. \( y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} \) - Ta thấy rằng hàm số này có dạng phân thức, do đó nó có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Tuy nhiên, khi thay \( x = 1 \) vào tử số, ta nhận thấy rằng tử số không bằng 0, nên hàm số này không có điểm bất định tại \( x = 1 \). Do đó, đồ thị của hàm số này sẽ có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). B. \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) - Hàm số này cũng có dạng phân thức, do đó nó có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Tuy nhiên, khi thay \( x = 1 \) vào tử số, ta nhận thấy rằng tử số không bằng 0, nên hàm số này không có điểm bất định tại \( x = 1 \). Do đó, đồ thị của hàm số này sẽ có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). C. \( y = x^3 - 3x - 1 \) - Hàm số này là một đa thức bậc ba, do đó nó không có tiệm cận đứng. Đồ thị của hàm số này sẽ là một đường cong uốn lượn, không có tiệm cận đứng. D. \( y = x^2 + x - 1 \) - Hàm số này là một đa thức bậc hai, do đó nó không có tiệm cận đứng. Đồ thị của hàm số này sẽ là một parabol, không có tiệm cận đứng. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số \( y = x^3 - 3x - 1 \) là một đa thức bậc ba, không có tiệm cận đứng và có dạng đồ thị uốn lượn như trong hình. Vậy đáp án đúng là: C. \( y = x^3 - 3x - 1 \)