Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC , K là điểm đối xứng với A qua M. a) Chứng minh tứ giác ABKC là hình thoi. b) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì tứ giác ABKC là hình vuông....

a) Chứng minh tứ giác ABKC là hình thoi. - Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. - K là điểm đối xứng với A qua M, do đó AM = MK và AK = 2AM. - Ta có AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A). - Xét tam giác ABM và tam giác ACM: - AB = AC (tam giác ABC cân tại A) - BM = MC (M là trung điểm của BC) - AM chung Do đó, tam giác ABM và tam giác ACM bằng nhau (cạnh - cạnh - cạnh). - Từ đó suy ra ∠BAM = ∠CAM. - Xét tam giác ABK và tam giác ACK: - AB = AC (tam giác ABC cân tại A) - AK chung - ∠BAK = ∠CAK (vì ∠BAM = ∠CAM) Do đó, tam giác ABK và tam giác ACK bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). - Từ đó suy ra BK = CK. - Vậy tứ giác ABKC có các cạnh AB = BK = KC = CA, do đó ABKC là hình thoi. b) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì tứ giác ABKC là hình vuông? - Để tứ giác ABKC là hình vuông, ta cần thêm điều kiện ∠BAC = 90°. - Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, và do đó tứ giác ABKC sẽ là hình vuông. c) Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt đường thẳng CK tại D. Chứng minh AD = BC. - Vì AD // BC, nên ∠DAB = ∠ABC (hai góc so le trong). - Xét tam giác ABD và tam giác CKB: - AB = KB (vì ABKC là hình thoi) - ∠DAB = ∠ABC (chứng minh trên) - ∠ADB = ∠CBK (hai góc đồng vị) Do đó, tam giác ABD và tam giác CKB bằng nhau (góc - cạnh - góc). - Từ đó suy ra AD = BC. Đáp số: a) Tứ giác ABKC là hình thoi. b) Điều kiện cần thêm: ∠BAC = 90°. c) AD = BC.