s = 1/2 + 2/2 mũ 2 + 3/2 mũ 3 + 4/2 mũ 4 + ... + 100/2 mũ 100

Để tính tổng \( s = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{4}{2^4} + \ldots + \frac{100}{2^{100}} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhân cả hai vế với một hằng số để tạo ra một dạng dễ dàng hơn để tính toán. Bước 1: Nhân cả hai vế của \( s \) với 2: \[ 2s = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots + \frac{100}{2^{99}} \] Bước 2: Viết lại \( s \): \[ s = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{4}{2^4} + \ldots + \frac{100}{2^{100}} \] Bước 3: Trừ \( s \) từ \( 2s \): \[ 2s - s = \left(1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots + \frac{100}{2^{99}}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{4}{2^4} + \ldots + \frac{100}{2^{100}}\right) \] Bước 4: Kết hợp các hạng tử: \[ s = 1 + \left(\frac{2}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{3}{2^2} - \frac{2}{2^2}\right) + \left(\frac{4}{2^3} - \frac{3}{2^3}\right) + \ldots + \left(\frac{100}{2^{99}} - \frac{99}{2^{99}}\right) - \frac{100}{2^{100}} \] Bước 5: Đơn giản hóa các hạng tử: \[ s = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \ldots + \frac{1}{2^{99}} - \frac{100}{2^{100}} \] Bước 6: Nhận thấy đây là tổng của một dãy số lũy thừa: \[ s = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \ldots + \frac{1}{2^{99}} - \frac{100}{2^{100}} \] Bước 7: Tổng của dãy số lũy thừa này là: \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \ldots + \frac{1}{2^{99}} = 2 - \frac{1}{2^{99}} \] Bước 8: Thay vào: \[ s = 2 - \frac{1}{2^{99}} - \frac{100}{2^{100}} \] Bước 9: Đơn giản hóa cuối cùng: \[ s = 2 - \frac{1}{2^{99}} - \frac{100}{2^{100}} = 2 - \frac{1}{2^{99}} - \frac{100}{2 \cdot 2^{99}} = 2 - \frac{1}{2^{99}} - \frac{50}{2^{99}} = 2 - \frac{51}{2^{99}} \] Vậy, tổng \( s \) là: \[ s = 2 - \frac{51}{2^{99}} \]