típpppppppppppp giúpppp

Bài 5: a) Thay $a=25$ và $b=9$ vào biểu thức $3\sqrt{a} - 2\sqrt{b}$: \[ 3\sqrt{25} - 2\sqrt{9} = 3 \times 5 - 2 \times 3 = 15 - 6 = 9 \] b) Thay $a=36$ và $b=64$ vào biểu thức $\sqrt{a + b}$: \[ \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] c) Thay $a=1$ và $b=-2$ vào biểu thức $\sqrt{a^2 - 3ab + 2}$: \[ \sqrt{1^2 - 3 \times 1 \times (-2) + 2} = \sqrt{1 + 6 + 2} = \sqrt{9} = 3 \] d) Thay $a=1$ và $b=3$ vào biểu thức $\sqrt{a^2 - 3ab + 2}$: \[ \sqrt{1^2 - 3 \times 1 \times 3 + 2} = \sqrt{1 - 9 + 2} = \sqrt{-6} \] Biểu thức này không có giá trị thực vì căn bậc hai của một số âm không tồn tại trong tập số thực. Đáp số: a) 9 b) 10 c) 3 d) Không có giá trị thực Bài 6: a) $\sqrt[3]{-125} = -5$ b) $\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{-0,125} = 2 + (-0,5) = 1,5$ c) $\sqrt[3]{0,064} - \sqrt[3]{1000} = 0,4 - 10 = -9,6$ Bài 7: a) $\sqrt{28a^4b^2} = \sqrt{4 \times 7 \times a^4 \times b^2} = \sqrt{4} \times \sqrt{7} \times \sqrt{a^4} \times \sqrt{b^2} = 2 \times a^2 \times b \times \sqrt{7} = 2a^2b\sqrt{7}$ b) $\sqrt{20ab} \cdot \sqrt{5ab} - 2ab = \sqrt{(20ab) \cdot (5ab)} - 2ab = \sqrt{100a^2b^2} - 2ab = 10ab - 2ab = 8ab$ c) $\frac{\sqrt{50a^2}}{\sqrt{2a}} + a\sqrt{\frac{9}{a}} - \frac{2}{3a}\sqrt{\frac{a^3}{4}} = \frac{\sqrt{25 \times 2 \times a^2}}{\sqrt{2a}} + a\sqrt{\frac{9}{a}} - \frac{2}{3a}\sqrt{\frac{a^3}{4}}$ $= \frac{5a\sqrt{2}}{\sqrt{2a}} + a\sqrt{\frac{9}{a}} - \frac{2}{3a}\sqrt{\frac{a^3}{4}} = \frac{5a\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{a}} + a\sqrt{\frac{9}{a}} - \frac{2}{3a}\sqrt{\frac{a^3}{4}}$ $= \frac{5a\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{a}} + a\sqrt{\frac{9}{a}} - \frac{2}{3a}\sqrt{\frac{a^3}{4}} = \frac{5a\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{a}} + a\sqrt{\frac{9}{a}} - \frac{2}{3a}\sqrt{\frac{a^3}{4}}$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Bài 8: a) Để chứng minh đẳng thức $(1+\frac{a+\sqrt a}{\sqrt a+1}).(1-\frac{a-\sqrt a}{\sqrt a-1})=1-a$, ta thực hiện các bước sau: Điều kiện xác định: $a \geq 0; a \neq 1$. Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức: \[ 1 + \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a} + 1) + (a + \sqrt{a})}{\sqrt{a} + 1} = \frac{a + 2\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a} + 1)^2}{\sqrt{a} + 1} = \sqrt{a} + 1 \] \[ 1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} = \frac{(\sqrt{a} - 1) - (a - \sqrt{a})}{\sqrt{a} - 1} = \frac{-a + 2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{-(\sqrt{a} - 1)^2}{\sqrt{a} - 1} = -(\sqrt{a} - 1) = 1 - \sqrt{a} \] Bước 2: Nhân hai biểu thức đã rút gọn lại: \[ (\sqrt{a} + 1)(1 - \sqrt{a}) = \sqrt{a} - a + 1 - \sqrt{a} = 1 - a \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ (1 + \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1})(1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}) = 1 - a \] b) Để chứng minh đẳng thức $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{x + \sqrt{xy} + y} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$, ta thực hiện các bước sau: Điều kiện xác định: $x > 0; y > 0$. Bước 1: Rút gọn tử số: \[ x\sqrt{x} - y\sqrt{y} = (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y) \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{x + \sqrt{xy} + y} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)}{x + \sqrt{xy} + y} = \sqrt{x} - \sqrt{y} \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{x + \sqrt{xy} + y} = \sqrt{x} - \sqrt{y} \] Bài 9: a) $\frac{a^2 + a}{\sqrt{a + 1}}$ với $a > -1$ Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{a + 1}$: \[ \frac{a^2 + a}{\sqrt{a + 1}} = \frac{(a^2 + a) \cdot \sqrt{a + 1}}{\sqrt{a + 1} \cdot \sqrt{a + 1}} = \frac{(a^2 + a) \cdot \sqrt{a + 1}}{a + 1} \] b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$ Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{5}$: \[ \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10 \sqrt{5}}{5} = 2 \sqrt{5} \] c) $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$ Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3} + \sqrt{5}$: \[ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{5})}{(\sqrt{3} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2}{3 - 5} = \frac{3 + 2\sqrt{15} + 5}{-2} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{-2} = -4 - \sqrt{15} \] d) $\frac{x^2 - 25}{\sqrt{x} + \sqrt{5}}$ với $x \geq 0$ Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{x} - \sqrt{5}$: \[ \frac{x^2 - 25}{\sqrt{x} + \sqrt{5}} = \frac{(x^2 - 25) \cdot (\sqrt{x} - \sqrt{5})}{(\sqrt{x} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{x} - \sqrt{5})} = \frac{(x^2 - 25) \cdot (\sqrt{x} - \sqrt{5})}{x - 5} \] Đáp số: a) $\frac{(a^2 + a) \cdot \sqrt{a + 1}}{a + 1}$ b) $2 \sqrt{5}$ c) $-4 - \sqrt{15}$ d) $\frac{(x^2 - 25) \cdot (\sqrt{x} - \sqrt{5})}{x - 5}$ Bài 10: a) Ta có: \[ 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \times 5} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45} \] \[ 5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \times 3} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{75} \] Vì \( 45 < 75 \), nên \( \sqrt{45} < \sqrt{75} \). Do đó, \( 3\sqrt{5} < 5\sqrt{3} \). b) Ta có: \[ 5\sqrt{\frac{7}{5}} = 5 \times \sqrt{\frac{7}{5}} = \sqrt{25 \times \frac{7}{5}} = \sqrt{5 \times 7} = \sqrt{35} \] \[ \sqrt{72} : \sqrt{2} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} \] Vì \( 35 < 36 \), nên \( \sqrt{35} < \sqrt{36} \). Do đó, \( 5\sqrt{\frac{7}{5}} < \sqrt{72} : \sqrt{2} \). c) Ta có: \[ \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74} \] \[ \sqrt{49} + \sqrt{25} = 7 + 5 = 12 \] Vì \( 74 < 144 \), nên \( \sqrt{74} < 12 \). Do đó, \( \sqrt{49 + 25} < \sqrt{49} + \sqrt{25} \). Đáp số: a) \( 3\sqrt{5} < 5\sqrt{3} \) b) \( 5\sqrt{\frac{7}{5}} < \sqrt{72} : \sqrt{2} \) c) \( \sqrt{49 + 25} < \sqrt{49} + \sqrt{25} \) Bài 11: a) $\frac{\sqrt{x}}{4} - 3 = 2$ Điều kiện xác định: $x \geq 0$ $\frac{\sqrt{x}}{4} = 2 + 3$ $\frac{\sqrt{x}}{4} = 5$ $\sqrt{x} = 5 \times 4$ $\sqrt{x} = 20$ $x = 20^2$ $x = 400$ b) $2\sqrt{3x + 1} - 5 = 11$ Điều kiện xác định: $3x + 1 \geq 0$ $2\sqrt{3x + 1} = 11 + 5$ $2\sqrt{3x + 1} = 16$ $\sqrt{3x + 1} = \frac{16}{2}$ $\sqrt{3x + 1} = 8$ $3x + 1 = 8^2$ $3x + 1 = 64$ $3x = 64 - 1$ $3x = 63$ $x = \frac{63}{3}$ $x = 21$ c) $\sqrt{9x - 18} + \sqrt{4x - 8} = \frac{1}{2}$ Điều kiện xác định: $9x - 18 \geq 0$ và $4x - 8 \geq 0$ $\sqrt{9x - 18} + \sqrt{4x - 8} = \frac{1}{2}$ Ta thấy rằng $\sqrt{9x - 18}$ và $\sqrt{4x - 8}$ đều là các căn bậc hai, do đó chúng phải lớn hơn hoặc bằng 0. Tuy nhiên, tổng của chúng là $\frac{1}{2}$, một số rất nhỏ, nên cả hai căn này phải rất nhỏ. Ta thử thay $x = 2$ vào phương trình để kiểm tra: $\sqrt{9(2) - 18} + \sqrt{4(2) - 8} = \sqrt{18 - 18} + \sqrt{8 - 8} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 + 0 = 0$ Vì vậy, $x = 2$ không thỏa mãn phương trình. Do đó, phương trình này không có nghiệm. Đáp số: a) $x = 400$ b) $x = 21$ c) Phương trình vô nghiệm. Bài 12: Để tìm giá trị của \( x \) để các biểu thức dưới đây xác định, ta cần đảm bảo rằng biểu thức ở dưới dấu căn không âm (và không bằng 0 nếu có phân thức). a) \( \sqrt{2x - 1} \) Điều kiện xác định: \[ 2x - 1 \geq 0 \] \[ 2x \geq 1 \] \[ x \geq \frac{1}{2} \] b) \( \sqrt{2 - 5x} \) Điều kiện xác định: \[ 2 - 5x \geq 0 \] \[ -5x \geq -2 \] \[ x \leq \frac{2}{5} \] c) \( \sqrt{\frac{-2}{3x}} \) Điều kiện xác định: \[ \frac{-2}{3x} \geq 0 \] Phân thức này dương khi tử số âm và mẫu số âm hoặc tử số dương và mẫu số dương. Vì tử số là -2 (luôn âm), mẫu số phải âm: \[ 3x < 0 \] \[ x < 0 \] d) \( \sqrt{\frac{2024}{3x + 7}} \) Điều kiện xác định: \[ \frac{2024}{3x + 7} \geq 0 \] Phân thức này dương khi tử số dương và mẫu số dương hoặc tử số âm và mẫu số âm. Vì tử số là 2024 (luôn dương), mẫu số phải dương: \[ 3x + 7 > 0 \] \[ 3x > -7 \] \[ x > -\frac{7}{3} \] e) \( \sqrt{x^2 + 2024} \) Điều kiện xác định: \[ x^2 + 2024 \geq 0 \] \( x^2 \) luôn luôn không âm, do đó \( x^2 + 2024 \) luôn luôn dương: \[ x^2 + 2024 \geq 2024 > 0 \] Do đó, biểu thức này xác định với mọi giá trị của \( x \): \[ x \in \mathbb{R} \] Tóm lại, các điều kiện xác định là: a) \( x \geq \frac{1}{2} \) b) \( x \leq \frac{2}{5} \) c) \( x < 0 \) d) \( x > -\frac{7}{3} \) e) \( x \in \mathbb{R} \) Bài 13: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Rút gọn biểu thức \( A \) Biểu thức \( A \) được cho là: \[ A = \frac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \] Ta nhận thấy rằng \( a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3 \) và \( b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3 \). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức \( A \) như sau: \[ A = \frac{(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \] Áp dụng công thức phân tích đa thức \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \), ta có: \[ (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) \] Do đó: \[ A = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \] Rút gọn biểu thức: \[ A = (\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \] \[ A = a - \sqrt{ab} + b \] b) Tính giá trị của \( A \) khi \( a = 400 \) và \( b = 900 \) Thay \( a = 400 \) và \( b = 900 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = 400 - \sqrt{400 \times 900} + 900 \] Tính \( \sqrt{400 \times 900} \): \[ \sqrt{400 \times 900} = \sqrt{360000} = 600 \] Do đó: \[ A = 400 - 600 + 900 \] \[ A = 700 \] Đáp số: a) \( A = a - \sqrt{ab} + b \) b) \( A = 700 \) khi \( a = 400 \) và \( b = 900 \) Bài 14: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 9 \). a) Rút gọn B: \[ B = \frac{x\sqrt{x} + 27}{x - 9} - \frac{x + 9}{\sqrt{x} - 3} \] Chúng ta sẽ thực hiện phép trừ các phân thức này. Trước tiên, ta tìm mẫu chung của hai phân thức: \[ x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) \] Do đó, ta có thể viết lại B dưới dạng: \[ B = \frac{x\sqrt{x} + 27}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} - \frac{(x + 9)(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] Phân tử của B là: \[ x\sqrt{x} + 27 - (x + 9)(\sqrt{x} + 3) \] \[ = x\sqrt{x} + 27 - (x\sqrt{x} + 3x + 9\sqrt{x} + 27) \] \[ = x\sqrt{x} + 27 - x\sqrt{x} - 3x - 9\sqrt{x} - 27 \] \[ = -3x - 9\sqrt{x} \] Vậy: \[ B = \frac{-3x - 9\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] \[ = \frac{-3(x + 3\sqrt{x})}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] \[ = \frac{-3\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] \[ = \frac{-3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \] b) Tính giá trị của B khi \( x = 4 \): \[ B = \frac{-3\sqrt{4}}{\sqrt{4} - 3} \] \[ = \frac{-3 \cdot 2}{2 - 3} \] \[ = \frac{-6}{-1} \] \[ = 6 \] Đáp số: a) \( B = \frac{-3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \) b) \( B = 6 \) khi \( x = 4 \) Bài 15: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 1 \). a) Rút gọn biểu thức \( C \): \[ C = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{3\sqrt{x} + 1}{x - 1} \] Quy đồng mẫu số chung: \[ C = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2 + (\sqrt{x} - 1)^2 - (3\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Tính tử số: \[ (\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1 \] \[ (\sqrt{x} - 1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1 \] \[ (3\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = 3x - 3\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1 = 3x - 2\sqrt{x} - 1 \] Tử số: \[ (x + 2\sqrt{x} + 1) + (x - 2\sqrt{x} + 1) - (3x - 2\sqrt{x} - 1) = x + 2\sqrt{x} + 1 + x - 2\sqrt{x} + 1 - 3x + 2\sqrt{x} + 1 = 3 - x \] Mẫu số: \[ (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = x - 1 \] Vậy: \[ C = \frac{3 - x}{x - 1} = \frac{-(x - 3)}{x - 1} = \frac{3 - x}{x - 1} \] b) Tính giá trị của \( C \) tại \( x = 121 \): \[ C = \frac{3 - 121}{121 - 1} = \frac{-118}{120} = -\frac{59}{60} \] c) Tìm giá trị của \( x \) để \( C = \frac{1}{2} \): \[ \frac{3 - x}{x - 1} = \frac{1}{2} \] Nhân cả hai vế với \( 2(x - 1) \): \[ 2(3 - x) = x - 1 \] Phát triển và nhóm các hạng tử: \[ 6 - 2x = x - 1 \] \[ 6 + 1 = x + 2x \] \[ 7 = 3x \] \[ x = \frac{7}{3} \] Đáp số: a) \( C = \frac{3 - x}{x - 1} \) b) \( C = -\frac{59}{60} \) c) \( x = \frac{7}{3} \) Bài 16: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Rút gọn M Điều kiện xác định: \( x > 0 \) Ta có: \[ M = \frac{x-2}{x+2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}+2} - \frac{1}{\sqrt{x}} \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức: 1. Rút gọn \(\frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}\): \[ \frac{x-2}{x+2\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^2 - 2}{(\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} \] \[ = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2}}{\sqrt{x}} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} \] 2. Rút gọn \(\frac{1}{\sqrt{x}+2}\): \[ \frac{1}{\sqrt{x}+2} \] 3. Rút gọn \(\frac{1}{\sqrt{x}}\): \[ \frac{1}{\sqrt{x}} \] Bây giờ, chúng ta cộng các phân thức lại: \[ M = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\right) + \frac{1}{\sqrt{x}+2} - \frac{1}{\sqrt{x}} \] b) Tính giá trị của biểu thức M tại \( x = 3 + 2\sqrt{2} \) Thay \( x = 3 + 2\sqrt{2} \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ \sqrt{x} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1 \] Do đó: \[ M = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}\right) + \frac{1}{\sqrt{2} + 1 + 2} - \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \] Rút gọn từng phân thức: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2 - \sqrt{2}}{1} = 2 - \sqrt{2} \] \[ \frac{1}{\sqrt{2} + 3} \] \[ \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1 \] Vậy: \[ M = \left(1 - (2 - \sqrt{2})\right) + \frac{1}{\sqrt{2} + 3} - (\sqrt{2} - 1) \] \[ = (1 - 2 + \sqrt{2}) + \frac{1}{\sqrt{2} + 3} - \sqrt{2} + 1 \] \[ = -1 + \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2} + 3} - \sqrt{2} + 1 \] \[ = \frac{1}{\sqrt{2} + 3} \] c) Tìm x c N để M có giá trị là số nguyên Để M là số nguyên, ta cần: \[ M = \frac{1}{\sqrt{2} + 3} \] Điều này chỉ xảy ra khi \(\sqrt{2} + 3\) là số nguyên, nhưng \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ, do đó không có giá trị nào của \(x\) trong tập số tự nhiên làm cho M là số nguyên. Đáp số: a) \( M = 1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}+2} - \frac{1}{\sqrt{x}} \) b) \( M = \frac{1}{\sqrt{2} + 3} \) c) Không có giá trị nào của \(x\) trong tập số tự nhiên làm cho M là số nguyên.