a$^3$+3a$^2$+5=5$^b$;a+3=5$^c$ tim a b c nguyên dương

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm các giá trị nguyên dương của \(a\), \(b\), và \(c\) sao cho các phương trình \(a^3 + 3a^2 + 5 = 5^b\) và \(a + 3 = 5^c\) đều đúng. Bước 1: Xét phương trình \(a + 3 = 5^c\) - Vì \(a\) và \(c\) là số nguyên dương, \(5^c\) phải là số lẻ và lớn hơn 3. - Các giá trị \(c\) có thể là 1, 2, 3, ... Bước 2: Thử các giá trị \(c\) để tìm \(a\) - Nếu \(c = 1\), ta có \(a + 3 = 5^1 = 5\) \[ a = 5 - 3 = 2 \] - Nếu \(c = 2\), ta có \(a + 3 = 5^2 = 25\) \[ a = 25 - 3 = 22 \] Nhưng \(a = 22\) không thỏa mãn \(a^3 + 3a^2 + 5 = 5^b\) vì \(22^3 + 3 \times 22^2 + 5\) không là lũy thừa của 5. - Nếu \(c = 3\), ta có \(a + 3 = 5^3 = 125\) \[ a = 125 - 3 = 122 \] Nhưng \(a = 122\) cũng không thỏa mãn \(a^3 + 3a^2 + 5 = 5^b\) vì \(122^3 + 3 \times 122^2 + 5\) không là lũy thừa của 5. Bước 3: Kiểm tra \(a = 2\) vào phương trình \(a^3 + 3a^2 + 5 = 5^b\) - Thay \(a = 2\) vào phương trình: \[ 2^3 + 3 \times 2^2 + 5 = 8 + 3 \times 4 + 5 = 8 + 12 + 5 = 25 \] Ta thấy \(25 = 5^2\), do đó \(b = 2\). Vậy, các giá trị nguyên dương của \(a\), \(b\), và \(c\) là: \[ a = 2, \quad b = 2, \quad c = 1 \] Đáp số: \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 1\).