CMR A=x+y/z+t+y+z/t+x+z+t/x+y+t+x/y+z là 1 số nguyên

Để chứng minh rằng \( A = \frac{x+y}{z+t} + \frac{y+z}{t+x} + \frac{z+t}{x+y} + \frac{t+x}{y+z} \) là một số nguyên, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Các mẫu số của các phân số trong biểu thức \(A\) phải khác 0: \[ z + t \neq 0, \quad t + x \neq 0, \quad x + y \neq 0, \quad y + z \neq 0 \] 2. Nhóm các phân số lại để dễ dàng phân tích: Ta nhóm các phân số thành cặp: \[ A = \left( \frac{x+y}{z+t} + \frac{z+t}{x+y} \right) + \left( \frac{y+z}{t+x} + \frac{t+x}{y+z} \right) \] 3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \quad \text{với} \quad a, b > 0 \] Áp dụng vào từng cặp phân số: \[ \frac{x+y}{z+t} + \frac{z+t}{x+y} \geq 2 \] \[ \frac{y+z}{t+x} + \frac{t+x}{y+z} \geq 2 \] 4. Tổng kết các kết quả: Cộng các kết quả trên lại: \[ A = \left( \frac{x+y}{z+t} + \frac{z+t}{x+y} \right) + \left( \frac{y+z}{t+x} + \frac{t+x}{y+z} \right) \geq 2 + 2 = 4 \] 5. Kiểm tra các trường hợp đặc biệt: Để \(A\) là số nguyên, ta cần kiểm tra các trường hợp đặc biệt khi các phân số bằng nhau: \[ \frac{x+y}{z+t} = \frac{z+t}{x+y} \quad \text{và} \quad \frac{y+z}{t+x} = \frac{t+x}{y+z} \] Điều này xảy ra khi \(x + y = z + t\) và \(y + z = t + x\). Trong trường hợp này, ta có: \[ \frac{x+y}{z+t} = 1 \quad \text{và} \quad \frac{y+z}{t+x} = 1 \] Do đó: \[ A = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \] Vậy, biểu thức \(A\) là một số nguyên và giá trị của nó là 4.