giải hộ mình

Bài I. 1. Tính giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = 9 \): Điều kiện xác định: \( x > 0 \) Thay \( x = 9 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{\sqrt{9} + 4}{\sqrt{9} + 1} = \frac{3 + 4}{3 + 1} = \frac{7}{4} \] 2. Rút gọn biểu thức \( B \): Điều kiện xác định: \( x > 0 \) Biểu thức \( B \) là: \[ B = \frac{4}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2 - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x}} \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức: \[ \frac{4}{\sqrt{x} + 1} \] \[ \frac{2 - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}} - 3 \] \[ \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] Gộp lại: \[ B = \frac{4}{\sqrt{x} + 1} - \left( \frac{2}{\sqrt{x}} - 3 \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \right) \] Rút gọn: \[ B = \frac{4}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2}{\sqrt{x}} + 3 + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} + 3 - \frac{1}{\sqrt{x}} \] \[ B = \frac{4\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} + 3 - \frac{1}{\sqrt{x}} \] \[ B = \frac{4\sqrt{x} + 2 + 3\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{4\sqrt{x} + 2 + 3x + 3\sqrt{x} - \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{3x + 6\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] 3. Đặt \( P = \frac{3A}{B} \). So sánh \( P \) với 2: \[ P = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1}}{\frac{3x + 6\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}} \] \[ P = \frac{3(\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{3x + 6\sqrt{x} + 1} \] \[ P = \frac{3(\sqrt{x} + 4)\sqrt{x}}{3x + 6\sqrt{x} + 1} \] So sánh \( P \) với 2: \[ P = \frac{3(\sqrt{x} + 4)\sqrt{x}}{3x + 6\sqrt{x} + 1} \] Ta thấy rằng: \[ 3(\sqrt{x} + 4)\sqrt{x} = 3x + 12\sqrt{x} \] \[ 3x + 6\sqrt{x} + 1 < 3x + 12\sqrt{x} \] Do đó: \[ P > 2 \] Đáp số: 1. \( A = \frac{7}{4} \) 2. \( B = \frac{3x + 6\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \) 3. \( P > 2 \) Bài II. Điều kiện xác định: $x \neq 0$. Bước 1: Quy đồng mẫu số các phân thức ở hai vế của bất phương trình: \[ \frac{x-1}{2} - \frac{7x+3}{15} \geq \frac{2x+1}{3} + \frac{3-2x}{5}. \] Quy đồng mẫu số chung là 30: \[ \frac{15(x-1)}{30} - \frac{2(7x+3)}{30} \geq \frac{10(2x+1)}{30} + \frac{6(3-2x)}{30}. \] Bước 2: Nhân cả hai vế với 30 để loại bỏ mẫu số: \[ 15(x-1) - 2(7x+3) \geq 10(2x+1) + 6(3-2x). \] Bước 3: Thực hiện phép nhân và gom các hạng tử: \[ 15x - 15 - 14x - 6 \geq 20x + 10 + 18 - 12x. \] Bước 4: Gom các hạng tử giống nhau: \[ x - 21 \geq 8x + 28. \] Bước 5: Chuyển các hạng tử liên quan đến x sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ x - 8x \geq 28 + 21. \] Bước 6: Gom các hạng tử liên quan đến x: \[ -7x \geq 49. \] Bước 7: Chia cả hai vế cho -7 (nhớ đổi dấu bất phương trình): \[ x \leq -7. \] Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: \[ x \leq -7. \] Bài III. Gọi số tấm thảm dự kiến mua là x (tấm), giá tiền mỗi tấm thảm dự kiến mua là y (nghìn đồng). Theo đề bài ta có: xy = 800 (x × 0,8) × (y + 20) = 800 Suy ra: y = 200 Vậy giá tiền mỗi tấm thảm mà bà Hoa đã mua là: 200 + 20 = 220 (nghìn đồng) Đáp số: 220 nghìn đồng. Bài IV. 1. Tính tốc độ trung bình của máy bay: - Độ cao máy bay đạt được sau 30 giây là 2,8 km. - Thời gian bay là 30 giây = $\frac{30}{3600}$ giờ = $\frac{1}{120}$ giờ. - Tốc độ trung bình của máy bay là: $\frac{2,8}{\frac{1}{120}} = 2,8 \times 120 = 336$ km/giờ. 2. a) Giải tam giác vuông OAD: - Ta có $\widehat{AOD} = 40^\circ$, $\widehat{OAD} = 90^\circ$ (vì OA là bán kính và AD là tiếp tuyến). - $\widehat{ADO} = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ$. - Độ dài cạnh OD: $OD = \frac{OA}{\sin(40^\circ)} = \frac{3}{\sin(40^\circ)} \approx 4,6$ cm. - Độ dài cạnh AD: $AD = OA \cdot \tan(40^\circ) = 3 \cdot \tan(40^\circ) \approx 2,5$ cm. b) Chứng minh DB là tiếp tuyến của đường tròn (O): - Ta có $\widehat{DAO} = 90^\circ$ (vì AD là tiếp tuyến). - $\widehat{DAO} = \widehat{DBO}$ (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung). - Do đó, DB là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Chứng minh bốn điểm D, B, O, M cùng thuộc một đường tròn và KE cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O): - Ta có $\widehat{DOM} = \widehat{DAM}$ (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung). - $\widehat{DOM} = \widehat{DBM}$ (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung). - Do đó, bốn điểm D, B, O, M cùng thuộc một đường tròn. - Ta có $\widehat{KEM} = \widehat{KOM}$ (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung). - $\widehat{KOM} = \widehat{KBM}$ (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung). - Do đó, KE cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài V. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng liên quan và đặt ẩn số. 2. Lập phương trình hoặc biểu thức đại lượng liên quan. 3. Tìm giá trị tối ưu của đại lượng cần tìm. 4. Tính toán chi phí xây dựng bể. Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan và đặt ẩn số. Gọi chiều rộng của đáy bể là \( x \) (m), điều kiện \( x > 0 \). Chiều dài của đáy bể là \( 4x \) (m). Chiều cao của bể là \( h \) (m). Thể tích của bể là: \[ V = x \times 4x \times h = 4x^2h \] Theo đề bài, thể tích bể là 400 m³, nên ta có: \[ 4x^2h = 400 \] \[ x^2h = 100 \] \[ h = \frac{100}{x^2} \] Bước 2: Lập phương trình hoặc biểu thức đại lượng liên quan. Diện tích mặt trong của bể (không tính nắp) bao gồm diện tích đáy và diện tích các mặt bên: \[ S = x \times 4x + 2(x \times h) + 2(4x \times h) \] \[ S = 4x^2 + 2xh + 8xh \] \[ S = 4x^2 + 10xh \] Thay \( h = \frac{100}{x^2} \) vào biểu thức trên: \[ S = 4x^2 + 10x \left( \frac{100}{x^2} \right) \] \[ S = 4x^2 + \frac{1000}{x} \] Bước 3: Tìm giá trị tối ưu của đại lượng cần tìm. Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc bất đẳng thức. Ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát hàm số. Xét hàm số \( f(x) = 4x^2 + \frac{1000}{x} \). Tìm đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 8x - \frac{1000}{x^2} \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 8x - \frac{1000}{x^2} = 0 \] \[ 8x = \frac{1000}{x^2} \] \[ 8x^3 = 1000 \] \[ x^3 = 125 \] \[ x = 5 \] Kiểm tra giá trị \( x = 5 \) để đảm bảo nó là giá trị nhỏ nhất: - Khi \( x < 5 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > 5 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng). Vậy \( x = 5 \) là giá trị nhỏ nhất của \( S \). Bước 4: Tính toán chi phí xây dựng bể. Khi \( x = 5 \): \[ h = \frac{100}{5^2} = \frac{100}{25} = 4 \text{ (m)} \] Diện tích mặt trong của bể: \[ S = 4(5)^2 + \frac{1000}{5} \] \[ S = 4 \times 25 + 200 \] \[ S = 100 + 200 \] \[ S = 300 \text{ (m}^2) \] Chi phí xây dựng bể: \[ \text{Chi phí} = 300 \times 500000 = 150000000 \text{ (đồng)} \] Đáp số: Chi phí thấp nhất mà doanh nghiệp phải trả để xây bể là 150 000 000 đồng.